法律概率（一）
1。概率工具包
1.1概率及其解释
1.2概率谬论
1.2.1假定独立
1.2.2检察官的谬论
1.2.3贝叶斯定理和基本费率谬论
1.2.4辩护律师的谬论
1.3贝叶斯定理的赔率版本
1.4数字来自哪里？
1.5来源，活动和进攻水平假设
2。证据的强度
2.1贝叶斯因子诉。
2.2冷击DNA匹配
2.2.1随机匹配诉数据库匹配
2.2.2感冒匹配的似然比
2.3选择竞争假设
2.3.1临时假设和巴里·乔治
2.3.2独家和详尽？
2.4两污问题
3。法律申请的贝叶斯网络
3.1贝叶斯网络进行营救
3.2成语
3.3对整个情况进行建模
4。相关性
4.1似然比
4.2小镇谋杀异议
5。证明标准
5.1法律背景
5.2概率阈值
5.3最小化预期成本
5.4概率阈值的替代方案
6。裸统计证据
6.1蓝色巴士，盖特克拉舍尔，囚犯
6.2冷命中
6.3修正主义的回应
6.4非修改主义的反应
7。进一步的异议
7.1连词的困难
7.2科恩的其他异议
7.2.1完整性
7.2.2佐证
7.3先验的问题
7.4参考类问题
7.4.1挑战
7.4.2相关性和关键问题
7.4.3模型选择
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1。概率工具包
本节始于对概率及其解释公理的审查，然后显示概率理论如何有助于发现人们在审判中评估证据时可能会沦为猎物的错误，例如检察官的谬误，基本利率谬误和谬论辩护律师的谬论。本节还研究了如何将概率分配给假设以及如何在不同水平的粒度水平上提出假设。
1.1概率及其解释
标准概率理论由三个公理组成：
表1
符号中的单词中的公理
非负性A任何命题A的概率大于或等于0。Pr（a）≥0
正态性任何逻辑重言式的概率为1。如果⊨a，则PR（a）= 1
增加两个命题A和B的分离的概率是它们各自的概率的总和，只要两个命题在逻辑上是不兼容的。如果⊨-（a∧b），则pr（a∨b）= pr（a）+pr（b）
概率理论中的一个重要概念是条件概率的概率，即在命题B上有条件的命题A中的概率，符号为pr（a ab）。尽管有时将其视为一个原始概念，但条件概率通常被定义为pr（A∧B）的概率除以要在PR（b）上或换句话说的命题的概率，换句话说
pr（a ab）=
PR（A∧B）
PR（B）
假设pr（b）≠0。
该概念在法律申请中至关重要。审判中的事实调查者可能想知道“被告在犯罪时在现场”的可能性，有条件在“夫人”上。戴尔断言，她看到被告逃离现场。”或者，他们可能想知道“被告是犯罪现场发现的痕迹的来源”的可能性，条件是“ DNA专家断言被告的DNA与现场的痕迹相匹配。”通常，事实调查者对给定假设h的可能性感兴趣，以符合可用证据e的条件，符号，pr（h.e）。
大多数法律概率主义者都同意，归因于审判中有争议的陈述的概率，例如“被告是犯罪痕迹的根源”或“被告在犯罪时处于犯罪现场”，应该理解为基于证据的信念程度（例如，参见Cullison 1969; Kaye 1979b; Nance 2016）。这种解释解决了这样的担心，即由于过去事件发生过或没有发生，它们的概率应该是1或0。即使客观机会是1或0，鉴于可用的证据，仍然可以分配有关过去事件的陈述。此外，对在不可重复的事件（例如个人的行动）应用程序的应用程序中，信念程度比频率更适合，这通常是试验纠纷的重点进一步争议与这些问题的互动超出此条目的范围（进行更广泛的讨论，更广泛的讨论，参见概率的解释以及2013年的Gillies； 2004年；
有些人担心，除了遵守概率公理外，信仰程度最终以主观和任意的方式分配（Allen and Pardo 2019）。可以通过指出信念程度应反映出可能包括经验频率的证据的认真评估来缓解这种担忧（请参见下面的第1.2节和ENFSI 2015中的示例）。但是，在某些情况下，相关的经验频率将不可用。发生这种情况时，仍然可以通过依靠常识和经验来评估信念程度。有时，无需为过去的每个语句分配确切的概率。在这种情况下，相关概率可以用一组概率度量（Shafer 1976; Walley 1991），概率分布在参数值或间隔（请参见第1.4节中的后面）表示。
1.2概率谬论
搁置将概率分配给不同陈述的实际困难，概率理论是一种有价值的分析工具，可以检测出可能不会引起注意的证据和推理谬论的误解。
1.2.1假定独立
概率理论有助于识别的常见错误在于假设两个事件彼此独立。概率理论的定理指出，两个事件的结合的概率A∧B等于结合a和b的概率的乘积，即
pr（a∧b）= pr（a）×pr（b），
只要A和B彼此独立，从某种意义上说，条件概率PR（AHB）与无条件的概率PR（a）相同。更正式，请注意
pr（a ab）=
PR（A∧B）
PR（B）
，，，，
所以
pr（a∧b）= pr（a）×pr（b）
提供pr（a）= pr（a ab）。后一种平等意味着学习B不会改变对A的信念。
珍妮特（Janet）和马尔科姆·柯林斯（Malcolm Collins）在1964年被指控抢劫的夫妇审判说明了如何忽略事件之间缺乏独立性。这对夫妇是根据当时被认为是不寻常的功能确定的。检察官将一名专家证人，一名大学数学家召唤到展位，并要求他考虑以下特征，并假设他们有以下概率：黑人有胡须（十分之一），有小胡子的人（四分之一） ），有金发的白人妇女（三分之一），有马尾辫的妇女（十分之1），在汽车中的异族夫妇（1000个中的1个），夫妇驾驶黄色敞篷车（十分之一）。数学家正确地计算了一对随机夫妇在独立性假设上显示所有这些特征的概率：1200万分之一（假设个人概率估计是正确的）。依靠这一论点，陪审团定罪了这对夫妇。如果这些特征在洛杉矶如此罕见，而强盗将它们（陪审团一定是有理由）拥有的，柯林斯必须是强盗。
加利福尼亚最高法院在Peoplev。Collins（68 Cal.2d 319，1968）中扭转了这一定罪。法院指出的错误是假设将每个功能的概率倍增将赋予其共同发生的可能性。仅当所讨论的特征在概率上独立时，此假设才能存在。但事实并非如此，因为例如，“有胡须的人”的特征可能与“有胡须的人”的功能非常相关。对于“有金发的白人女性”和“马尾辫的女人”的特征，相同的相关性也可能存在。除了缺乏独立性外，另一个问题是，与每个特征相关的概率均未通过任何可靠的方法获得。
英国案R.v。Clark（EWCA Crim 54，2000）是另一个例子说明如何轻易忽略事件之间缺乏独立性。莎莉·克拉克（Sally Clark）有两个儿子。她的第一个儿子于1996年去世，她的第二个儿子在1998年的类似情况下去世。他们都在出生后的几周内死亡。可能只是巧合吗？在审判中，儿科医生罗伊·梅多（Roy Meadow）作证说，富裕家庭（例如克拉克（Clark））死于突然婴儿死亡综合症（SIDS）的可能性为8,543中的1个。假设这两个死亡是独立事件，Meadow计算出两个儿童死于小岛屿发展中国家的可能性是
1
8,543
×
1
8,543
，大约等于
1
73×106
或7300万分之一。毫无疑问，这个令人印象深刻的数量在案件的结果中发挥了作用。萨利·克拉克（Sally Clark）因谋杀两个婴儿儿子而被定罪（尽管定罪最终被上诉扭转）。 1/（73×106）的图基于独立性的假设。这个假设似乎是错误的，因为环境或遗传因素可能会使家族易受sid的偏爱（有关这一点的更全面讨论，请参见Dawid 2002； Barker 2017； Sesardic 2007）。
1.2.2检察官的谬论
人们在评估试验中提供的证据时经常犯的另一个错误包括将两个条件概率的方向混为一谈，即PR（A.B）和PR（B.A）。例如，如果您抛弃一个模具，则结果为2的概率是偶数（等于1/3）与结果甚至是2（等于1）的概率不同。
在刑事案件中，关于有条件概率的两个方向的混乱可能导致夸大检察官假设的概率。假设一位专家证明，在犯罪现场发现的血液与被告的血统相匹配，而5％的人很可能与犯罪无关的人（不是一个不是现场发现的血液源）的人，这是偶然的。有些人可能很想将这一说法解释为说被告不是血液来源的可能性为5％，因此被告可能是源头95％。这种有缺陷的解释被称为检察官的谬误，有时也称为转座谬误（Thompson and Schumann 1987）。 5％的数字是有条件的概率PR（M.），假设被告不是犯罪现场鲜血（M）的来源，他仍然会匹配（M）。 5％的数字不是被告匹配（m）的概率PR（¬S.M），他不是来源（¬S）。通过将两个方向混合在一起，并认为
pr（€s）= pr（m∣s）= 5％，
错误地认为PR（SKM）= 95％。
在前面讨论的柯林斯案中也发生了相同的混合。即使计算正确，随机夫妇将具有指定特征的1200万个概率也应解释为PR（M.Innlecent），而不是collins是无辜的，因为它们与目击者的描述相匹配， PR（Innocent.m）。据推测，陪审员将柯林斯定罪是因为他们认为他们不是强盗几乎是不可能的。但是，假设这是正确的1200万个数字，只有PR（M.Innlecent）等于1/（12×106），而不是PR（Innocent.m）等于1/（12×106）。
1.2.3贝叶斯定理和基本费率谬论
假设的概率给出了证据，PR（H.E）与假设的证据的可能性之间的关系，由贝叶斯定理捕获了假设，PR（E.H）的概率：
pr（h∣e）=
PR（e h）
PR（E）
×pr（h），假设pr（e）≠0。
概率PR（H）称为H的先验概率（在考虑证据E之前），PR（H.E）是H的后验概率。此术语是标准化的，但由于提出了稍微误导性而造成的。不必在那里的时间订购。接下来，考虑比率
PR（e h）
PR（E）
，，，，
有时称为贝叶斯因子。[1]这是观察证据e的概率PR（E.H）的比率，假设H（通常称为可能性）和观察E的概率PR（E）通过总概率定律，PR（E）添加的结果观察e的概率和观察e的概率分别由h和h的先前概率加权：
pr（e）= pr（e h）×pr（h）+pr（e€h）×pr（¬h）。
从贝叶斯定理中明显看出，将先前的概率乘以贝叶斯因子产生后验概率PR（HIS）。其他情况相等，先前的概率PR（H）越低，后验概率PR（HIS）越低。基本利率谬误包括忽略先前概率对后部的影响（Kahneman and Tversky 1973）。这导致认为假设的后验概率给定证据与实际情况不同（Koehler 1996）。
考虑前面讨论的血液证据示例。根据贝叶斯定理，两个条件概率PR（¬S.M）和PR（M. -s）的相关性如下：
pr（€s）=
pr（m∣s）×pr（¬s）
pr（mβs）×pr（¬s）+pr（m r（m r（m r）×pr（s）
。
没有任何其他令人信服的证据相反，最初应该很有可能像其他任何人一样与犯罪无关。为了说明目的，说先前的概率pr（¬s）=。99，因此pr（s）=。01（有关如何在第1.4节中以后评估先前概率的更多信息）。接下来，PR（M.S）大约可以设置为1，因为如果被告是犯罪现场的血液的根源，他应该在现场与血液相匹配（搁置了虚假负面因素的可能性）。专家估计，不是来源的人会偶然地与现场发现的血（即PR（M. -））相同的可能性等于.05。由贝叶斯定理，
pr（€s）=
.05
（.05×.99）+（1×.01）
×.99≈.83。
被告是源的后部概率，PR（S.M）约为1 −.83 = .17，远低于夸张的值.95。如果先前的概率较低，则后验概率将降低。类似的分析适用于柯林斯案。如果柯林斯有罪的先前概率足够低（例如，占600万分之一）的后罪恶可能性大约为0.7，而不是令人印象深刻，而不是不那么令人印象深刻
（1-
1
12×106
）≈.9999999。
1.2.4辩护律师的谬论
尽管不应忽略基本利率信息，但要过度关注它并忽略其他证据会导致所谓的辩护律师的谬论。像以前一样，假设检察官专家证明被告与犯罪现场发现的痕迹相匹配，并且有5％的可能性与犯罪无关的随机人会偶然匹配，因此PR（m r.s）=。 05。声称被告是痕迹的来源，或者在符号中，PR（sr Match）=。95，是犯下检察官的谬论。但是假设辩方认为，由于镇上的人口为10,000人，其中5％的人会偶然匹配，即10,000×5％= 500人。由于被告可能会离开痕迹，因为其他499人中的任何一个人可能是1/500 = .2％的可能是源头，这是一个相当令人印象深刻的人物。比赛得出的结论是毫无价值的证据。
该分析描绘的是检察官的案件比需要弱。如果调查人员将一组嫌疑人缩小为100人（这是辩方忽略的潜在信息），则该比赛将使被告有可能成为源头16％。可以使用贝叶斯定理（作为读者的练习）来验证这一事实。即使正如辩方所声称的那样，即使假设嫌疑人库有多达10,000人）1/500。鉴于概率从1/10,000到1/500的向上转移，因此不应将比赛视为毫无价值的证据（段sour p.2.1稍后详细介绍）。
1.3贝叶斯定理的赔率版本
迄今为止考虑到贝叶斯定理的版本在信息上是在信息上要求的以及所有替代假设¬H，包括H的所有可能替代方案。贝叶斯定理的简单版本是所谓的几率表述：
PR（H.）
PR（H'I）
=
PR（e h）
pr（e.h'）
×
PR（H）
PR（H'）
，，，，
或用语言：
后赔率=似然比×先前的几率。
比率
PR（H）
PR（H'）
代表先前的几率，其中H和H'是两个竞争的假设，不一定是另一个相互作用。可能性比
PR（e h）
pr（e.h'）
考虑到这两个假设，比较了同一证据E的概率。后赔率
PR（H.）
PR（H'I）
根据证据，比较了假设的概率。这个比率与给出证据的特定假设的概率（HIS）不同。
作为说明，请考虑萨利·克拉克（Sally Clark）案（以前在第1.2节中讨论）。要比较的两个假设是萨利·克拉克（Sally Clark）的儿子死于自然原因（自然），克拉克杀死了他们（杀人）。可用的证据表明，两个儿子在类似情况下丧生（两次死亡）。由贝叶斯定理（在赔率版本中），
PR（杀死死亡）
PR（自然死亡）
=
PR（两个死亡人）
PR（两个死亡）
×
PR（杀死）
PR（自然）
。
可能性比
PR（两个死亡人）
PR（两个死亡）
比较每个假设下的证据（两次死亡）的可能性（杀死自然）。由于在任何一个假设下，两个婴儿都会因自然原因或杀戮而死，比率应等于一个（Dawid 2002）。那之前的赔率呢
PR（杀死）
PR（自然）
？
回想儿科医生罗伊·梅多（Roy Meadow）给出的1/（73×106）数字。这个数字旨在传达两个婴儿因自然原因而死的不可能，一个接一个。如果两者都不太可能死于自然原因（可能是一种理由），那么他们可能实际上并没有死于自然原因，而克拉克很可能杀死了他们。但是她吗？
他们死于自然原因的先前可能性应与母亲杀死他们的先前概率进行比较。要有一个大概的想法，假设在像英国这样的中型国家中，每年出生的100万婴儿，有100个被母亲谋杀。因此，母亲一年中杀死一个婴儿的机会是10,000分之一。同一个母亲杀死两个婴儿的机会是多少？说我们呼吁（有争议的）独立假设。在这个假设上，母亲杀死两个婴儿的机会等于1亿分之一。假设独立，
PR（自然）=
1
73×106
和
pr（kill）=
1
100×106
。
这意味着先前的赔率等于.73。如果可能性比为1，后赔率也将等于.73。在这一分析中，克拉克杀死了她的儿子的可能性比他们死于自然原因或换句话说，自然原因假设的可能性比克拉克杀死儿子的假设的可能性要高1.37倍。
