形式认识论（四）

4.第四个案例研究：知识的局限性

到目前为止，我们只使用了一种正式工具：概率论。我们可以使用其他工具（例如 Dempster-Shafer 理论或排序理论）在上述应用中得到许多类似的结果。但让我们转向新的应用程序和新工具。让我们用模态逻辑来探索知识的极限。

4.1 认知模态逻辑

模态逻辑的语言与普通的经典逻辑相同，但添加了一个额外的句子运算符◻来表示必然性。如果一个句子 phi 不仅为真，而且必然为真，我们就写 ◻phi。

然而，有很多种必要性。有些事情在逻辑上是必要的，比如同义反复。其他的可能在逻辑上不是必要的，但在形而上学上仍然是必要的。 （赫斯珀鲁斯和磷星是相同的，这是一个流行的例子；更有争议的候选者是上帝的存在或有关父母起源的事实，例如，艾达·洛夫莱斯的父亲是拜伦勋爵这一事实。）

但这里我们关心的必然性是认知必然性，即根据我们所知，事物必须为真的必然性。例如，这句话的作者是人类对你来说是认识上必要的。如果你还不知道这一点（也许你没有考虑过这个问题），那么考虑到你确实知道的其他事情，这一定是真的：人类是地球上唯一能够对正式认识论构建连贯调查的生物，并且这就是这样一个调查（我希望如此）。

那么，在认知模态逻辑中，用 K 代替 ◻ 是有意义的，其中 K 表示 已知为真，或者至少是从已知为真得出的。被谁认识？这取决于应用程序。除非另有说明，否则我们假设我们正在谈论您的知识。

认知模态逻辑应该包括哪些公理？好吧，命题逻辑的任何同义反复都应该是一个定理，就像 phi⊃phi 一样。就此而言，具有类似真值表有效的 K 运算符的公式（例如 K ⊃ K ）也应该是定理。因此，我们将继续以最粗略的方式使所有这些公式定理成为可能，将它们全部设为公理：

(P) 任何符合经典逻辑规则的真值表有效的句子都是公理。

采用 P 立即使我们的公理列表变得无限。但它们都很容易通过真值表方法识别出来，所以我们不用担心。

超越经典逻辑，所有所谓的“正常”模态逻辑都共享一个对于认知应用来说看起来相当合理的公理：

K(ψ⊃ψ)⊃(Kψ⊃Kψ)

如果你知道 ψ⊃ψ 为真，那么如果你也知道 ψ，那么你也知道 ψ。或者至少，如果 ψ⊃ψ 和 ψ 成立，则 ψ 可以根据您所知道的得出。 （顺便说一句，这里的“K”代表“Kripke”，而不是“知识”。）所有“alethic”模态逻辑共享的另一个共同公理看起来也不错：

K ⊃ Φ

如果你知道 phi，它一定是真的。 （注意：K 和 T 实际上是公理模式，因为这些形式的任何句子都是公理。因此，这些模式中的每一个实际上都添加了无限多个公理，所有公理都具有相同的通用形式。）

对于这些公理，我们将添加两个推理规则。第一个是经典逻辑中常见的，它指出从 ψ⊃ψ 和 ψ，可以推导出 ψ。正式：

ψ⊃ψ,ψ⊢ψ

第二条规则特定于模态逻辑，并指出从 phi 可以推断出 Kphi。正式：

ψ⊢Kψ

NEC 的规则看起来很可疑：它不是让一切真相都为人所知吗？事实上，不：我们的逻辑只承认公理和由 MP 推导出来的事物。因此，只有逻辑真理才会受到 NEC 规则的约束，并且这些真理在认识上是必要的：它们要么是已知的，要么是根据我们所知道的得出的，因为它们在没有任何假设的情况下遵循。 （NEC 代表“必要”，在当前系统中在认知上是必要的。）

三个公理模式 P、K 和 T，连同推导规则 MP 和 NEC，完成了我们的最小认知模态逻辑。它们使我们能够推导出一些基本定理，我们将在下一节中使用其中一个定理：

定理（∧-分布）。 K(ψ∧ψ)⊃(Kψ∧Kψ)

（有关证明，请参阅技术补充）。这个定理粗略地说，如果你知道一个合取词，那么你就知道每个合取词。至少，每个合取都遵循你所知道的（从现在开始我将隐式保留这个限定词），这看起来相当明智。

我们能证明一些更有趣的事情吗？通过一些调整，我们可以得出一些关于我们知识的局限性的相当惊人的结果。

4.2 可知性悖论（又名丘奇-菲奇悖论）

一切真实的事情都能被知道吗？或者是否存在一些永远无法得知的真相，即使在原则上也是如此？费奇 (Fitch, 1963) 和阿隆佐·丘奇 (Alonzo Church, Salerno 2009) 提出的一个著名论点表明事实并非如此：有些真理是不可知的。因为如果所有真理在原则上都是可知的，我们就可以推论所有真理实际上已经是已知的，这是荒谬的。

这个论证需要对我们的认知逻辑进行轻微的扩展，以适应可知性的概念。对我们来说，K 意味着已知（或由已知蕴含），而可知性则增加了一个额外的模态层：可能知道什么。因此，我们的语言中需要一个句子运算符 ◊ 来表示形而上学的可能性。因此 ◊ψ 的意思是“在形而上学上 ψ 可能为真”。事实上，◊phi 只是 Ø◻Øphi 的缩写，因为不一定是假的也可以是真的。因此，我们实际上可以添加 ◻ 来代替，并假设它像 K 运算符一样遵守 NEC 规则。 （与 K 运算符的 NEC 规则一样，我们总是可以从 phi 推导出 ◻phi，因为只有当 phi 是逻辑真值时，我们才能首先推导出 phi。）根据定义，◊ 就是 Ø◻Ø 。

添加到我们的语言中后，我们可以导出以下引理（有关推导，请参阅技术补充）：

引理（未知者是不可知的）。 Ø◊K( ∧ ØK )

这个引理基本上说你无法知道这样的事实，“ 是真的，但我不知道它是真的”，这似乎很合理。如果你知道这样一个连接，那么第二个连接就一定是真的，这与你知道第一个连接相冲突。 （这就是 ∧ 分布被证明有用的地方。）

然而，这个看似合理的引理几乎立即导致了一些真理的不可知性。假设对于归约来说，一切真实的事物都可以被知道，至少在原则上是这样。也就是说，假设我们将以下作为公理：

知识无极限

ψ⊃◊Kψ

然后，我们只需几行代码就可以推导出所有真实的东西实际上都是已知的，即 ψ⊃Kψ。

1. (ψ∧ФФ)⊃◊K(Ф∧ФФ) 知识无极限

2. ψ(ψ∧ψKψ) 1，未知数是不可知的，P

3. Φ⊃KΦ2, P

如果K代表上帝所知道的，那就没问题了。但如果 K 代表你或我所知道的，那就显得很荒谬了！不仅有我们不知道的真理，而且大多数真理甚至不是我们所知道的。知识无极限似乎是这里的罪魁祸首，所以似乎有些事情我们甚至在原则上也无法知道。但请参阅有关惠誉可知性悖论的条目以获取更多讨论。

4.3 自我认识

即使我们无法知道某些事情，我们至少可以无限地获取我们自己的知识吗？我们至少总是能够辨别我们是否知道某事吗？形而上必然性逻辑中的一个流行公理是所谓的 S4 公理：◻phi⊃◻◻phi。这就是说，凡是必要的都必须是必要的。在认知逻辑中，相应的公式为：

Kφ⊃KKφ

这粗略地说，每当我们知道某件事时，我们就知道我们知道它。 Hintikka (1962) 著名地主张将 KK 作为认知逻辑的公理。但威廉姆森（Williamson，2000）提出的一个有影响力的论点表明事实并非如此。

这个论点取决于知识不能靠运气获得的观点。具体来说，要知道某件事，就必须是你不可能轻易出错。否则，尽管你可能是对的，但这只是运气。例如，你可能正确地猜到我桌子上的罐子里正好有 967 个软心豆粒糖，但即使你是对的，你只是运气好。你不知道有 967 个软心豆粒糖，因为很可能有 968 个软心豆粒糖，而你却没有注意到其中的差异。

为了形式化这个“不走运”的想法，让命题 ψ1、ψ2 等表示软心豆粒糖的数量至少为 1、至少 2 等。我们假设您正在目视jar，没有仔细数过。因为您对大量软心豆粒糖的估计能力不完美，所以您无法知道罐子里至少有 967 个软心豆粒糖。如果您认为至少有 967 个软糖，那么您很容易错误地认为至少有 968 个，在这种情况下您就错了。因此，我们可以将这种情况下的“不容易犯错”的想法形式化如下：

安全

当 i 很大时（比如说至少 100），K phi i ⊃ phi i + 1 。

这个想法是，知识需要有一定的误差余量，在我们的例子中，误差余量至少是一个软心豆粒糖。大概不止一颗软糖，但至少是一颗。在真实数字的一粒糖豆之内，你无法辨别真假。 （参见Nozick（1981）关于知识“不走运”要求的不同概念，Roush（2005；2009）用概率术语形式化了这一概念。）

不过，在向您解释了所有这些之后，您现在知道了另一件事：安全论点是正确的。所以我们还有：

安全知识

当 i 较大时，K(Kphii⊃phii+1)。

将安全知识与 KK 结合起来会产生荒谬的结果：

1. Kφ100 假设

2. KKφ100 1,KK

3. K(Kφ100⊃φ101) 安全知识

4. KKφ100⊃Kφ101 3,K

5. Kφ101 2,4,MP

对 phi101, phi102, …, phin 重复步骤 (2)–(5)

Kψn m−1,MP。

米′。Φn·m,T

假设第 (1) 行中，您知道罐子里至少有 100 个软糖（您可以清楚地看到），我们可以证明罐子里的软糖比银河系中的恒星还要多。将 n 设置得足够高，软心豆粒糖的数量甚至超过了宇宙中的粒子数量！ （请注意，我们在推导过程中的任何地方都不依赖 NEC，因此可以使用第 (1) 行和安全知识等非逻辑假设。）

如果我们和威廉姆森一起基于这些理由拒绝 KK，那么哲学上的回报是什么？依赖 KK 的怀疑论据可能会被消除。例如，怀疑论者可能会争辩说，要了解某件事，你必须能够排除任何竞争性的选择。例如，要知道外部世界是真实的，你必须能够排除你被笛卡尔恶魔欺骗的可能性（Stroud 1984）。但你也必须能够排除你不知道外部世界是真实的可能性，因为这显然是你知道外部世界是真实的另一种选择。也就是说，你必须 K‐‐KΦ，因此 KKΦ (Greco 2014)。因此，这一怀疑论的驱动前提是 KK 论点，我们已经有理由拒绝这一论点。

当然，其他怀疑论并不依赖 KK。例如，一种不同的怀疑策略始于这样一个前提：笛卡尔恶魔的受害者与现实世界中的人拥有完全相同的证据，因为他们的体验状态是无法区分的。但如果我们的证据在两种情况下是相同的，我们就没有理由相信我们处于一种情况而不是另一种情况。 Williamson (2000: ch. 8) 采用了一个类似于他对 KK 的还原的论证，反对的前提是现实世界和恶魔世界中的证据是相同的。要点是，我们并不总是知道在给定场景中我们有什么证据，就像我们并不总是知道我们所知道的一样。事实上，威廉姆森认为，我们自己的思想的任何有趣的特征都受到类似的论证，包括在我们看来 ψ: Aψ⊃KAψ 面临着与 Kψ⊃KKψ 类似的还原。有关进一步的分析和批评，请参阅 Hawthorne (2005)、Mahtani (2008)、Ramachandran (2009)、Cresto (2012) 和 Greco (2014)。

5.第五个案例研究：社会认识论

当我们研究整个社区而不仅仅是孤立的个体时，有趣的事情就会发生。在这里，我们将研究研究人员之间的信息共享，并发现两个有趣的结果。首先，自由共享信息实际上会损害社区发现真相的能力。其次，社区成员之间的不信任可能导致某种两极分化。

我们还将在此过程中引入一种新工具：计算机模拟。可以从 GitHub 下载重现本节结果的 Python 代码。

5.1 佐尔曼效应

想象一下对于某种疾病有两种治疗方法。一种治疗方法很古老，但其功效众所周知：在任何特定情况下治愈该病症的几率为 0.5。另一种治疗方法是新的，可能稍好或稍差：成功机会为 0.501，否则为 0.499。研究人员还不确定它是什么。

目前，一些医生对新疗法持谨慎态度，另一些医生则持乐观态度。因此，有些人在病人身上尝试，而另一些人则坚持老方法。碰巧乐观主义者是对的：新疗法更优越：成功的机会是 0.501。

那么，新疗法的优越性最终会成为社区内的共识吗？随着有关其性能的数据被收集和共享，随着时间的推移，新疗法是否会稍微好一些，难道不应该变得清晰吗？

尝试新疗法的人可能会遭遇一连串的厄运。初步研究可能会得到一系列不太理想的结果，这并不能准确反映新疗法的优越性。毕竟，它只比传统治疗好一点点。所以它可能不会立即展现出它的勇气。如果没有，乐观主义者可能会在它有机会证明自己之前放弃它。

减轻这种危险的一种方法是限制医学界的信息流动。跟随 Zollman (2007) 的脚步，让我们通过模拟来证明这一点。

我们将创建一个“医生”网络，每个人最初都相信新疗法更优越。可信度高于 0.5 的人将尝试新的治疗方法，其他人将坚持旧的治疗方法。通过一条线连接的医生互相分享他们的结果，然后每个人都使用贝叶斯定理（第 1.2.2 节）更新他们看到的任何结果。

我们将考虑不同规模的网络，从 3 到 10 名医生。我们将尝试三种不同的网络“形状”，要么是完整的网络，要么是轮子，要么是循环：

显示了三个网络，每个网络有六个节点。第一个标记为“完整”，所有六个节点排列成六边形，每个节点到其他节点都有一条线。第二个标记为“轮子”，有五个节点排列成五边形，第六个节点位于中心；五边形边界周围有线，还有从中心节点到每个外部节点的线。第三个标记为“循环”，所有六个节点排列成六边形，六边形边界周围有线，没有内部线。

三种网络配置，此处各有 6 名医生进行说明

我们的推测是，该循环将被证明是最可靠的。不幸地得到一连串误导性结果的医生所造成的损害是最小的。分享他们的结果可能会阻止他们的两个邻居了解真相。但网络中的其他人可能会继续调查，并最终了解新疗法优越性的真相。然而，轮子应该更容易受到意外错误信息的影响，而整个网络最容易受到影响。

以下是详细信息。最初，每个医生都会被分配一个随机的信任，认为新的治疗方法更好，从 [0, 1] 区间中统一选择。那些置信度高于 0.5 的人将在 1,000 名患者身上尝试新的治疗方法。成功次数将通过对虚拟硬币进行 1,000 次“翻转”而随机确定，正面概率为 0.501（成功处理）。

然后，每位医生与邻居分享他们的结果，并根据贝叶斯定理更新他们可以获得的所有数据。然后我们再进行一轮实验、分享和更新，然后再进行一轮，以此类推，直到社区达成共识。

可以通过两种方式达成共识。要么每个人都通过获得高可信度（我们会说高于 0.99）来了解真相，即新疗法更优越。或者，每个人在新治疗中都可能达到 0.5 或更低的可信度。然后就没有人进一步实验它了，所以它不可能卷土重来。

以下是当我们运行每个模拟 10,000 次时会发生什么。网络的形状和医生的数量都会影响社区发现真相的频率。第一个因素是佐尔曼效应：网络连接越少，他们发现真相的可能性就越大。

该图显示 y 轴上的“真正共识的概率”与 x 轴上的“代理数量”。共有三条曲线，分别标记为“循环”、“轮子”和“完整”。随着代理数量从 3 增加到 10，“完整”曲线从低于 0.65 的概率变为概率 0.9。随着代理数量增加，“轮”曲线从 0.8 的概率变为概率 0.95从 5 到 10。随着代理数量从 4 增加到 10，“周期”曲线从概率略高于 0.75 变为概率略高于 0.95。

发现真相的概率取决于网络配置和医生数量。

但请注意，更大的社区也更有可能找到真相。为什么？因为更大、连接更少的网络可以更好地防止误导性结果。一些医生必然会偶尔获得不能反映新疗法真实特征的数据。当这种情况发生时，他们的误导性结果可能会以错误信息污染社区，从而阻止其他人尝试新疗法。但网络中的人越多，误导性结果就越有可能被其他人准确、有代表性的结果所淹没。看到误导性结果的人越少，被误导的人就越少。

这是一对动画模拟来说明第一个效果。在这里，我将六位医生的起始信用设置为相同，甚至分布在两个网络中：0.3、.4、.5、.6、.7 和 .8。我还给了他们相同的随机数据序列。只有网络中的连接不同，在这种情况下，一切都不同。只有循环才能了解真相。整个网络很早就变黑了，仅仅 26 次迭代后就完全放弃了这种新颖的处理方法。

显示了两个网络，每个网络都有六个排列成六边形的节点。第一个网络是完整的：每个节点都有一条线将其连接到其他每个节点。第二个网络是一个循环：只有相邻节点通过线连接。节点的颜色从深到浅；传说中颜色越浅，医生的可信度越高。在动画开始时，两个网络中的颜色相同：最暗的节点位于 9 点钟位置，节点围绕六边形顺时针变亮。随着动画的播放，节点变得更暗或变亮，而标记为“Epoch”的计数器从零开始计数到 ​​587。到第 28 纪元，第一个网络中的节点全部变暗，并且它们停止改变颜色视频的其余部分。但第二个网络在整个视频中不断变化。早期，它的大多数节点都变暗并且没有变化，但左下角的节点及其邻居继续波动并变亮。过了一会儿，他们的邻居开始做同样的事情，最终整个第二个网络变亮，动画结束。

两个具有相同先验的网络遇到相同的证据，但只有一个网络发现了真相。

[视频的替代链接]

拯救自行车网络的是以 0.8 信用度开始的医生（左下）。在团队遇到一连串令人沮丧的结果后，他们一开始足够乐观，能够继续前进。然而，在整个网络中，他们很早就收到了如此多的负面证据，以至于他们几乎立即放弃。他们的乐观情绪被许多邻居的负面调查结果所压倒。然而，这个周期让他们接触到的令人沮丧的证据更少，让他们有时间继续尝试新的治疗方法，最终赢得邻居的支持。

正如 Rosenstock、Bruner 和 O’Connor（2017）所说：在分享科学探究结果时，有时少即是多。但这种效应有多重要呢？它出现的频率是多少？在实际实践中它是否足够大以至于值得担心？