弗雷格定理和算术基础（六）

弗雷格为什么认为基本法律是分析性的，而概念f和g的物质等效性在分析上等同于暗示存在扩展的身份？为了认为基本定律V是分析性的，似乎必须认为右侧条件意味着相应的左侧条件是意义的问题。[16]但是，可以质疑这种观点。假设右手条件意味着左侧条件作为意义。也就是说，假设（r）意味着（l）是意义的：

\ begin {align*} \ tag {r}＆\ forall x（fx \ equiv gx）\\ \ \ tag {l}＆\ epsilon f = \ epsilon g \ end g \ end en end en eend {align*}

现在请注意，从逻辑角度可以分析（L）本身。 “ \ epsilon f”一词虽然是根据术语形成的运算符构建的，但确实是一个确定的描述（“ f的扩展”），因此，使用罗素的描述理论，（l）可以在逻辑上分析作为主张：

有一个对象x和一个对象y：

（1）X是F的独特扩展

（2）y是G的独特扩展，并且

（3）x = y。

也就是说，对于某些定义或原始的概念\ Mathit {Extension}（x，f）（'x是f'的扩展），（l）意味着分析（d）作为意义：

\ begin {align*} \ tag {d}＆\ exists x \ exanses y [\ mathit {extension}（x，x，f）\ amp \ forall z（\ mathit {extension}（z，z，f）\ to z \ eqclose x）\ \ amp \\＆\ quad \ mathit {extension}（y，g）\ amp \ forall z（\ mathit {extension}（z，g）\ to z \ eqclose y）\ amp x \ eqclose y] \ end {align*}

但是，如果（r）暗示（l）作为意义，并且（l）暗示（d）作为意义，则（r）意味着（d）作为意义。可以质疑这一结论：为什么F和G的物质等效性意味着存在主张（d）是意义的问题？换句话说，关于VA（即，基本定律v的权利方向）的建议是分析导致一个没有明显答案的问题。下面，这种推理将适应休ume原则的权利方向的分析性。参见Boolos 1997（307–309），其原因是VB（Hume原理的左右方向）没有分析。]

这里要绘制的道德是，即使基本法律一致，也不完全清楚其正确的侧面在分析上意味着扩展的存在。最后，我们可能需要其他一些方式来证明我们对基本定律V等原则的了解，这意味着抽象对象的存在 - 到目前为止讨论的理由似乎包含了差距。即使我们遵循弗赖格（Frege）将扩展名视为“逻辑对象”，但问题仍然存在：仅在逻辑或分析理由上，这些对象存在的说法如何才能实现？我们可能会同意，如果逻辑要有主题，必须有某种逻辑对象，但是如果弗雷格是要实现他的目标，即表明我们的算术知识是没有直觉的，那么在某些时候，他必须解决这个问题我们如何知道数字存在的问题。我们将在最终小节中返回此问题。

6.5 数字和真值的存在：凯撒大帝问题

鉴于弗雷格定理的证据不吸引基本法v，一些哲学家认为，弗雷格为算术产生认识论上的合理基础的最佳策略是替换原始术语\ epsilon f用原始术语\ #f取代基本术语，取代基本第五律具有休ume的原则，并认为休ume的原则是逻辑的分析原则。[17]但是，我们只是看到了这样的策略不足的原因之一。关于休ume原则是逻辑分析原则的说法，刚刚构成了同样的问题。

f \大约g

意义上意味着：

\ f：= \ #g

毕竟，语句“ \ f：= \ #g”是可以分析的，类似于我们在上一节中分析“ \ epsilon f = \ epsilon g”的方式，在那里我们使用罗素的描述理论来分析句子。 （l）作为句子（d）。遵循该模式，我们采用原始概念\ Mathit {numbers}（x，f），并分析\ f：= \ g：as：

\ begin {align*}＆\存在x \存在y [\ mathit {nubmess}（x，f） \\＆\ Quad \ Mathit {numbers}（y，g）\ amp \ forall z（\ Mathit {nubmess}（z，g）\ to z \ eqclose y）\ amp x \ eqclose y] \ end {align*}

目前尚不清楚为什么我们应该认为这最后的主张是f \ of of g g g的意义。休ume原则的左侧方向并不是显然是分析性的。

此外，弗雷格有自己的理由不用休ume的原则代替基本法律。原因之一是他认为休ume的原则对认识论问题没有任何答案：“我们如何掌握或逮捕逻辑对象，例如数字？”。第二个原因是休ume的原则显然要遵守“朱利叶斯·凯撒问题”。 Frege首先与他在GL，§55中尝试的“ n = \ #f”的归纳定义有关。关于这个定义，弗雷格说：

[GL，§56：]

…但是，我们永远无法（以一个粗略的例子）通过我们的定义来决定任何概念是否具有属于它的朱利叶斯·凯撒（Julius Caesar）的数字，或者Gaul的征服者是数字还是数字。 [摘自《弗雷格》 1953年的奥斯汀翻译]

弗雷格（Frege）对上下文定义再次提出了同样的关注，该定义给出了“身份标准”的“身份标准”。在GL§66中，弗雷格（Frege）考虑了以下“ x的方向”的上下文定义：

当且仅当a平行于b时，线A =线B的方向。

关于这个定义，弗雷格说：

[GL，§66：]

例如，它不会为我们决定英格兰是否与地球轴的方向相同 - 如果我可以被原谅一个看起来荒谬的例子。自然，没有人会把英格兰与地球轴的方向混淆。但这不是我们对方向的定义。 [摘自《弗雷格》 1953年的奥斯汀翻译]

现在，当我们认识到这是一个上下文定义，其逻辑形式与该方向的定义相同时，休ume原理的麻烦就开始出现。弗雷格（Frege）认为数字是对象是至关重要的，因此他认为他有责任说出它们是哪些对象。但是“朱利叶斯·凯撒问题”是，休ume的原则，如果被认为是提供数字身份条件的唯一原则，则不能描述任意对象（例如朱利叶斯·凯撒（Julius Caesar））所在的条件，或者不应与数字一起识别。行星。也就是说，休ume的原理不能定义“ \ f：= x”的条件，对于任意x。仅当X是一个已知的基数时（对于某些G而X = \ #g），而Hume的原理告诉我们\ f：= \ #g）时，它仅提供身份条件。

在GL中，Frege通过在扩展方面对数字进行明确的定义来解决问题。 （我们在上面的§4中描述了这一点。）不幸的是，这只是一个定格措施，因为当弗雷格后来将GG的扩展系统化时，基本法律V具有与Hume的原理相同的逻辑形式，以及上述方向的上下文定义。弗雷格（Frege）意识到，朱利叶斯·凯撒（Julius Caesar）问题会影响基本法律，如GG I，第10节所示。他说，在该部分中（记住，对于弗雷格，\ epsilon绑定了对象变量，而不是函数术语）：

[GG I，§10：]

\ ldots绝不完全修复了“ \ stackrel {，}” {\ epsilon} \！\ phi（\ epsilon）之类的名称的表示。我们只有一种始终识别价值的方法，如果它由'\ stackrel {，} {\ epsilon} \！\ phi（\ epsilon）的名称指定为'价值课程。但是，到目前为止，我们既不能决定一个对象是一个未给予我们这样\ ldots的价值（从弗雷格（Frege）1967年的《范围翻译》中）

换句话说，基本定律V并未告诉我们可以用某些给定扩展名（例如\ epsilon f）识别任意选择的对象X的条件。

直到最近，人们认为Frege通过限制了他的GG系统的通用量化器\ forall x在§10中解决了这个问题，以便它仅在扩展上范围。如果Frege可以成功地将此量词限制为扩展程序，那么当问题出现时，（任意选择）对象X是否与\ Epsilon F相同，可以回答X必须是某种概念的扩展，例如G，并且然后，基本定律v将告诉您X与\ epsilon F相同的条件。在对第10节的这种解释中，弗雷格据称当他确定了两个真实价值（真实和错误）时限制了量化器仅包含这些对象作为成员的两个扩展程序。通过这样做，人们认为他的量词范围内的所有对象\ forall x in gg in gg成为已被确定的扩展，因为真实价值是他系统中唯一没有被介绍为扩展或价值课程。

但是，Wehmeier（1999）最近的工作表明，在第10条中，弗雷格（Frege）并未试图将其系统的量化量限制为扩展（也更一般而言，也可以限制为价值课程）。 §10的广泛脚注表明弗雷格考虑了但没有太大的希望，可以通过仅由该对象组成的扩展名来识别域中的每个对象。[18]但是，更重要的是，弗雷格后来考虑了案例（在GG中，第34和35节）似乎以域中包含不扩展的对象为前提。 （在这些部分中，Frege考虑了当Y不是扩展时，“ X是Y”的定义会发生什么。）[19]

即使Frege某种程度上可以成功地限制GG的量词以避免Julius Caesar问题，他也将不再能够通过将其扩展到包括普通的非逻辑对象的名称来应用其系统。因为如果他试图这样做，那么“在什么条件下，\ epsilon f与朱利叶斯·凯撒（Julius Caesar）相同？”，那将是合法的，但没有答案。这意味着他的逻辑系统不能用于分析普通语言。但是，正是对普通语言的分析使弗雷格的见解是，数字陈述是对概念的主张。

6.6 最终观察结果

即使我们用强大的休ume原则代替了不一致的基本法V，弗雷格的作品仍然留下两个问题：（1）我们如何知道数字存在？和（2）我们如何精确地指定它们是哪些对象？出现第一个问题是因为休ume的原则似乎并不是逻辑的纯粹分析真理。如果休ume的原则和存在数字存在的生存主张在分析上是正确的，那么我们从哪个教师中知道（真实）存在主张？出现第二个问题是因为朱利叶斯·凯撒（Julius Caesar）问题适用于休ume的原则。没有解决该问题的解决方案，弗雷格无法确切地指定数字是哪些对象，以便将它们描述在所有逻辑和非逻辑对象的域中？因此，有关数字的存在和身份的问题仍然会影响弗雷格的工作。

这两个问题是由于这些Fregean双条件原理的逻辑形式的局限性，例如Hume的原理和基本定律V。这些上下文定义结合了两个现代逻辑学家现在通常通过单独的原则来完成的工作。 “逻辑”对象的正确重新完整的理论应具有单独的原则：（1）一个或多个主张存在逻辑对象的原则，以及（2）一个单独的身份原理，该原理断言逻辑对象相同的条件。后者应根据其最显着的特征来指定逻辑对象的身份条件，从而将其与其他对象区分开来。这样的身份原则将比所有对象（莱布尼兹定律）的全球身份原则更具体，该原则断言，如果对象x和y属于相同的概念，则它们是相同的。

举例来说，考虑现代集理论。 Zermelo集理论（Z）具有几种独特的集合原理。例如，考虑众所周知的子集（或分离）公理：

Z的子集（分离）公理：

\ forall x [\ mathit {set}（x）\ to \ to \ cesty y [\ mathit {set}（y）（y）\ amp \ forall z（z \ in y \ equiv（z \ in x \ amp \ phi） ],

\ phi是y不自由的任何公式

Z中的子集公理和另一个集合的公理与Z的身份原理不同：

集合的身份原理：

\ Mathit {set}（x）\ amp \ mathit {set}（y）\ to [\ forall z（z \ in x \ equiv z \ in y）\ in y）\ to x \ eqclose y]

请注意，第二个原理根据集合的最显着特征提供了身份条件，即，与其他对象不同，它们具有成员。那么，未设置的对象的身份条件可以是当对象属于相同概念时标识的标准原理。这使我们自然而然地构成了任何对象的认同原则：

身份的一般原理：\ begin {align*}＆x = y \ eqdef [\ mathit {set}（x）（x）\ amp \ amp \ armit {set}（y）\ amp \ amp \ forall z（z \ in x \ equiv equiv z \ in y）] \ \ lor \\＆\ quad [\ neg \ mathit {set}（x）（x）\ amp \ neg \ mathit {set}（y）（y）\ amp \ forall f（fx f x \ equiv fy）] \ end {align*}

现在，如果作为集合给我们的东西，我们询问它是否与任意选择的对象X相同，则指定了解决此问题的清晰条件。 Z理论的唯一问题涉及其存在原则：我们知道子集公理和其他集合存在原则是真实的，如果是，如何？因此，存在问题是裸露的。我们不会通过试图证明一项暗示着通过确定的描述存在的原则来处理它，而我们尚不清楚定义明确的描述。

在一些经典论文（1987和1986/87）中，Boolos似乎推荐了这种使用单独的存在和身份原则的过程。在这些论文中，他避免了集合成员资格的原始数学关系，并建议弗雷格可以使用单个非逻辑理解公理来制定他的数字理论（“弗雷格算术”）每当直觉上，X是一个仅由概念组成的扩展，而G是X中的概念。他称此非逻辑公理为“数字”，并使用符号“gηx”表示g在x中的g：

数字：

\ forall f \存在！x \ forall g（gηx\ equiv g \ about f）

[参见Boolos 1987（5），1986/87（140）。]该原则断言，对于任何概念F，有一个独特的对象，其中包含所有概念，只有那些概念G，而f. boolos则是同等的。观察结果：（1）弗雷格可以将\ #f定义为“唯一对象x，因此对于所有概念g，g，g in x iff g in x iff g in fo f in fo f in fo f in fo f”，（2）休ume的原则是从数字中得出的。 [参见Boolos 1986/87（140）。]鉴于这些观察结果，我们从上面的第4和5节中的工作中知道，这一数字足以衍生算术的基本定律。

由于Boolos称这一原则为“数字”，因此可以认为他会接受以下重新制定（其中“ \ Mathit {number {x）（x）”是一个不确定的，原始的概念）：

数字：

\ forall f \存在！x [\ mathit {number}（x）\ amp \ forall g（gηx\ equiv g \ abot f）]

尽管Boolos并未明确地制定身份原则以补充数字，但很明显，以下原理将根据数字的最独特特征提供身份条件：

数字的身份原则：

\ Mathit {number}（x）\ amp \ mathit {number}（y）\ to [\ forall g（gηx\ equivgηy）\ to x \ eqclose y]

然后像我们在集合理论z的情况下一样，简单地提出身份的一般原则是：

身份的一般原则：\ begin {align*}＆x = y \ eqdef [\ mathit {number {number}（x）\ amp \ amp \ mathit {number} {y）\ amp \ amp \ forall f（fηx\ equivfηy）] lor \\＆\ quad [\ neg \ mathit {number}（x）\ amp \ neg \ neg \ mathit {number {number}（y）\ amp \ forall f（fx \ equiv） fy）] \ end {align*}

从数量和身份的一般原则方面，弗雷格算术的这种表述使朱利叶斯·凯撒的问题（上述）更好地看待。为任意概念F和对象x定义了条件“ \ f：= x”。它公开面对认识论问题：我们知道数字是正确的吗？这是哲学家需要集中精力的地方。 [有关Frege Arithmetic的重建，并具有更通用的特殊实例关系η的版本，请参见Zalta1999。]]

通过用单独的存在和身份原则替换诸如休ume原则之类的fregean双条件，我们将两个问题减少到一个问题，并隔离算术基础的真正问题，即给出独特存在的认识论理由的问题）用于某种类型的抽象对象。因为如果像弗雷格（Frege）的程序要成功，那么它必须在某个时候（作为公理或定理）某种（逻辑）对象的存在（作为公理或定理）。这些单独的存在主张应该是关注的重点。