弗雷格定理和算术基础（五）
现在，为了从归纳法的一般原理导出数学归纳法原理，我们通过将 a 设置为 0 并将 R 设置为 Precedes 来制定后者的一个实例：
{[}F0 \amp \mathit{HerOn}(F, {}^{0}\mathit{先于}^{+}){]} \towide \forall x{[}\mathit{先于}^{+} (0,x) \到 Fx{]}
当我们扩展 \mathit{HerOn} 的定义符号时，用符号 Nx 和 Ny 代替 \mathit{Precedes}^{+}(0,x) 和 \mathit{Precedes}^{+}(0,y)，分别使用我们的限制量词 \forall n(\ldots n\ldots) 和 \forall m(\ldots m\ldots) 来表示形式为 \forall 的声明y(Ny \to \ldots y\ldots) 和 \forall x(Nx \to \ldots x\ldots) 分别，结果就是数学归纳法原理（其中符号 \mathit{HerOn}(F,N ) 已根据其定义被消除)。
5.5 每个自然数都有一个后继
弗雷格利用数学归纳原理证明每个自然数都有一个自然数的后继。我们可以将定理表述如下：
定理5：
\forall x{[}Nx \to \exists y(Ny \amp \mathit{先于}(x,y)){]}
为了重构弗雷格证明该定理的策略，请回想一下前驱关系的弱祖先，即 \mathit{Precedes}^{+}(x,y)，可以读作： x 是前驱级数的成员以 y 结尾。然后，弗雷格考虑以 n 结尾的前驱系列的概念成员，即 [\lambda z \, \mathit{Precedes}^{+}(z,n)]，其中 n 是自然数。然后，弗雷格通过归纳表明，每个自然数 n 都位于以 n 结尾的前驱系列的概念成员的数字之前。也就是说，弗雷格通过归纳法证明以下后继引理，证明每个自然数都有后继：
关于继任者的引理：
\forall n \mathit{先于}(n,\[\lambda：z \, \mathit{先于}^{+}(z,n)])
这断言每个自然数 n 都在以 n 结尾的前驱数列中的数字之前。弗雷格可以通过证明后继引理并证明自然数的后继本身就是自然数来建立定理 5。
为了直观地了解为什么后继引理给了我们想要的东西，我们可以暂时将 \mathit{Precedes}^{+} 视为关系 ≤。 （可以证明 \mathit{Precedes}^{+} 具有 ≤ 在自然数上的性质。）虽然我们还没有为数字“1”和“2”赋予任何含义，但以下直观序列正在推动弗雷格的策略：
\begin{align*} &0 \text{ 优先于 } \[\lambda：z \, z \leq 0] \\ &1 \text{ 优先于 } \[\lambda：z \, z \leq 1] \\ &2 \ text{ 先于 } \[\lambda：z \, z \leq 2] \\ &\text{etc.} \end{align*}
例如，该序列的第三个成员为真，因为有 3 个自然数（0、1 和 2）小于或等于 2；因此，数字 2 位于小于或等于 2 的数字之前。弗雷格的策略是表明，n 位于小于或等于 n 的数字之前的一般主张对于每个自然数都成立。因此，鉴于对后继引理的直观理解，弗雷格有一个很好的策略来证明每个数字都有后继。 （对于本小节的其余部分，读者可能希望继续用 \leq 来思考 \mathit{Precedes}^{+} 。）
现在，为了通过归纳法证明后继引理，我们需要将这个引理重新配置为可以用作数学归纳原理的结果的形式；也就是说，我们需要 \forall n\, Fn 形式的东西。我们可以通过使用从右到左方向的 lambda-Conversion（即 lambda-Abstraction）从引理“抽象”出一个概念来将后继引理变成这种形式，以产生引理的以下等效语句:
\forall n [\lambda y \, \mathit{先于}(y, \[\lambda：z \, \mathit{先于}^{+}(z,y)])]n
“抽象出来”的概念如下：
[\lambda y\, \mathit{先于}(y,\[\lambda：z \, \mathit{先于}^{+}(z,y)])]
这就是概念：作为一个对象 y，它位于概念编号之前：以 y 结尾的前驱系列的成员。让我们将表示这个概念的 lambda 表达式缩写为“Q”。我们的策略是将数学归纳原理中的变量 F 实例化为 Q。因此，结果是已经被证明的结果，因此我们知道是正确的：
Q0 \amp \mathit{HerOn}(Q,N) \to \forall nQn
由于结果是关于后继的重新配置的引理，弗雷格可以通过证明 0 属于 Q 范围（参见 Gg I，定理 154）和 Q 在自然数上是遗传的（参见 Gg I，定理 150）来证明该引理:
证明 0 属于 Q
证明Q在自然数上是遗传的
考虑到后继引理的证明，定理 5 就离我们不远了。后继引理表明每个数字都位于 \F：形式的某个基数之前。我们仍然必须证明这样的后继基数是自然数。也就是说，仍然需要证明如果数字 n 在 y 之前，则 y 是自然数：
自然数的后继是自然数：
\forall n\forall y (\mathit{先于}(n,y) \到 Ny)
证明：假设\mathit{先于}(n,a)。然后，根据定义，由于 n 是自然数，所以 \mathit{Precedes}^{+}(0,n) 。因此，根据关于 R^{+} 的事实 (3)（在第 4 节中关于弱祖先的小节中），可以得出 \mathit{ 先于}^*(0,a)，因此根据 \mathit{ 的定义位于}^{+}之前，则 \mathit{位于}^{+}(0,a)之前；即a是自然数。
现在，定理 5 由后继引理以及自然数的后继是自然数这一事实得出。有了定理5的证明，我们就完成了弗雷格定理的证明。在我们转向本文的最后一部分之前，值得一提的是该定理的数学意义。
5.6 算术
从弗雷格定理，我们可以推导出算术。这是定理 5 的直接推论，并且前驱是一种函数关系，即每个数都有唯一的后继。这意味着我们可以通过在我们的语言中添加“the x such that \phi”形式的明确描述来定义后继函数：
n' \eqdef x 使得 \mathit{Precedes}(n,x)
然后我们可以定义 0 之后的自然数序列如下：
\begin{align*} &1 = 0' \\ &2 = 1' \\ &3 = 2' \\ &\text{etc.} \end{align*}
此外，现在可以给出加法的递归定义：
\begin{align*} &n + 0 = n \\ &n + m' = (n + m)' \end{align*}
我们也可以正式定义：
\begin{align*} &n \lt m \eqdef \mathit{前面}^*(n,m) \\ &n \le m \eqdef \mathit{前面}^{+}(n,m) \end{align *}
这些定义构成了算术的基础。因此，弗雷格从二阶逻辑中的休谟原理中深刻地推导出算术的基本定律。 （对休谟原理与预测二阶逻辑结合时这些结果如何受到影响感兴趣的读者应该查阅 Linnebo 2004。）
6.围绕弗雷格定理的哲学问题
正如我们现在所看到的，弗雷格定理的证明可以独立于弗雷格系统中导致不一致的部分进行。弗雷格本人从未将“弗雷格定理”视为“结果”。如前所述，他试图从《Gg》中的《基本法 V》推导出休谟原理，但一旦他知道了这一矛盾，他就从未正式退回到“后退”立场，即声称戴德金-皮亚诺公理的证明来自休谟原理本身就构成了一个重要的结果。他没有采取这种后备立场的几个原因之一是，他不认为休谟原理是一个足够普遍的原理——从认识论的角度来看，他不相信它足够强大来帮助我们回答问题：“数字是如何提供给我们的？”。我们将在下文中讨论这种态度以及其他事情背后的想法。
对围绕弗雷格定理的哲学问题的讨论应该从弗雷格在撰写 Begr、Gl 和 Gg 时如何构思自己的项目的一些陈述开始。显然，认识论的考虑在一定程度上激发了弗雷格在数学基础上的研究。有据可查的是，弗雷格有以下目标，即通过回答“数字是如何‘赋予’我们的？”这一问题来解释我们对算术基本定律的了解。而不诉诸直觉。如果弗雷格能够证明数论的基本定律是从逻辑的分析真理中推导出来的，那么他就可以认为我们只需要诉诸理解能力（而不是某些直觉能力）来解释我们对数论真理的知识。弗雷格的目标与康德对精确数学科学的观点形成鲜明对比，根据康德的观点，如果我们要获得数学知识，推理的一般原理必须辅以直觉能力。这里的康德模型是几何模型；康德认为，我们对图形和结构的直觉在几何定理的论证中发挥着至关重要的作用。 （在弗雷格所处的时代，弗雷格同时代的帕什（Pasch，1882）、皮亚诺（Peano，1889b）、皮耶里（Pieri，1898）和希尔伯特（Hilbert，1899）的成就表明，这种直觉并不是必不可少的。）
6.1 弗雷格自己的目标和策略
弗雷格当时的策略是表明数论定理的推导不需要诉诸直觉。这反过来又要求他证明后者只能使用纯粹逻辑分析原理的推理规则、公理和定义来推导。这种观点被称为“逻辑主义”。弗雷格是这样说的：
[贝格，前言，第 17 页。 5：]
为了防止任何直觉的东西不被注意地渗透到这里，我必须竭尽全力保持推论链没有间隙。 [摘自 van Heijenoort 1967 年 Bauer-Mengelberg 翻译]
[贝格，第三部分，§23：]
此外，通过这个例子，我们还看到，纯粹的思想，无论任何由感官甚至先天直觉赋予的内容，如何能够仅根据其自身构成所产生的内容，得出乍一看似乎存在的判断。只有在某种直觉的基础上才有可能。下面关于序列[R-系列]的命题在一般性上远远超过了所有可以从序列的任何直觉中导出的命题。 [摘自 van Heijenoort 1967 年 Bauer-Mengelberg 翻译]
[GL，第 62 条：]
那么，如果我们不能对数字有任何想法或直觉，那么如何向我们提供数字呢？由于单词只有在命题的上下文中才有意义，因此我们的问题就变成了：定义出现数字词的命题的含义。 [摘自弗雷格 1953 年的奥斯汀翻译]
[GL，第 87 条：]
我希望我可以在目前的著作中声称，算术定律很可能是分析判断，因此是先验的。因此，算术变成了简单的逻辑的发展，算术的每一个命题都是逻辑定律，尽管是一个派生定律。 [摘自弗雷格 1953 年的奥斯汀翻译]
[GG我，§0：]
在我的《算术原理》中，我试图使算术是逻辑的一个分支并且不需要从经验或直觉中借用任何证明依据这一观点变得合理。在本书中，这一点将通过仅用逻辑手段推导最简单的数定律来证实。 [摘自 Frege 1967 中的 Furth 翻译]
[GG II，附录：]
算术的首要问题是这样的问题：我们以什么方式来构想逻辑对象，特别是数字？我们通过什么方式将数字视为对象是合理的？即使这个问题没有像我写本书时所想的那样得到解决，我仍然毫不怀疑解决问题的方法已经找到了。 [摘自 Frege 1967 中的 Furth 翻译]
6.2 弗雷格策略的基本问题
然而，弗雷格策略的基本问题是，为了让他的逻辑主义项目取得成功，他的系统必须在某个时候包括（作为公理或定理）明确断言某些抽象实体存在的陈述，而且这一点并不明显如何证明我们知道这种明确存在陈述的主张是合理的。鉴于上述讨论，应该很明显，在GG的某个时候，弗雷格（Frege）在某种程度上认可了以下实体，直接以其形式主义或元语言为中心，要么直接以其形式主义或征金为由。
概念（更普遍，功能）
扩展（更一般而言，价值或价值范围）
真相价值
数字
尽管弗雷格（Frege）试图将后两种实体（真实价值和数字）减少到扩展中，但事实是，概念和扩展的存在分别是从他的替代规则和基本法律V中得出的。
鉴于这些存在的主张，康德人很可能不仅暗示明确的存在主张是综合的，而不是分析性的（即，鉴于所涉及的词的含义并不是真实的），而且还因为既然替代规则和基本规则第五律暗示存在主张，弗雷格不能声称这种原则纯粹是逻辑的分析原则。如果康德人是正确的，那么仍然需要其他一些教师（例如直觉）来考虑我们对算术的存在主张的了解。
6.3 概念的存在
Boolos（1985）指出，替换规则对弗雷格计划引起了这种问题，因为这与概念的理解原则相当。 Boolos建议对Frege进行辩护，以解决其逻辑的这一特定方面，即重新诠释（通过释义）二阶量词，以避免对概念的承诺。 （有关细节，请参见Boolos（1985）。）但是，Boolos的建议是要求Frege放弃其现实主义概念理论的建议。此外，尽管Boolos的建议可能会导致我们对概念的理解原则有认识论的理由，但对于关系的理解原则，它对量词的重新解释仅适用于“ monadic”量化器（即，即那些关于有一个论点的概念的人）因此没有提供有关关系概念的量化的解释。
Boolos建议的类型策略的另一个问题是，如果解释了二阶量词，以使它们不在实体的单独域上进行范围，那么作为\ lambda表达的表示，没有合适的范围。尽管弗雷格（Frege）并没有完全这样说，但我们的重建表明，弗雷格（Frege）用自由对象变量对待开放式公式，就好像它们表示概念一样。尽管Frege不使用\ lambda通用，但使用这种符号似乎是重建他的作品的最有明显的方式。这种符号的使用与弗雷格替代法则相同的认识论难题。
要查看为什么，请注意\ lambda转换的原则：
\ forall y（[\ lambda x \，\ phi] y \ equiv \ phi^y_x）
似乎是逻辑的分析真理。它是这么说的：
y的对象体现了复杂属性，以至于\ phi时，只有当y是这样的\ phi时。
人们可能会争辩说，这是\ lambda-expression的含义，\ equiv的含义以及语句[\ lambda x \，\ phi] y（具有fx fx）的含义。但是，\ lambda转换也意味着概念的理解原则，因为后者是前者的存在概括：
\存在f \ forall y（fy \ equiv \ phi^y_x）
这里的观点是，生存主张至少对\ lambda转换的纯粹分析状态至少有疑问。我们如何获得此类原则的知识的问题仍然是哲学中的一个悬而未决的问题。这是一个重要的问题要解决，因为弗雷格最有见地的定义是使用量化符上的概念和关系（例如，关系的祖先）进行的，并且对这些实体和如何控制这些实体的原理有一个哲学上的解释将是有用的。他们成为我们知道的。在当代哲学中，这个问题仍然令人沮丧，因为许多哲学家确实接受了各种财产和关系存在。这些实体是弗雷格概念的当代类似物。
6.4 扩展的存在
尽管一旦将表单\ epsilon f的术语添加到二阶逻辑中，扩展的存在就落在了身份理论（第2.3节）中，但与概念一对一相关的扩展的存在是结果那么，《基本法》的问题是弗雷格项目的问题，为什么我们应该接受逻辑法则，这意味着个人的存在和这种相关性？弗雷格（Frege）认识到，基本法V作为逻辑法的地位可能会受到怀疑：
[gg i，序言，p。 3：]
据我所知，只有关于我关于价值课程（v）\ ldots我认为这是纯粹逻辑定律的基本定律，才能出现争议。 [摘自Frege 1967年的Freth翻译]
此外，他认为对扩展的吸引力将回答促使他工作的一个问题：
[1902年7月28日给罗素的信：]
我本人长期以来不愿意认识价值范围，因此[sets]；但是我没有其他可能将算术放在逻辑基础上的可能性。但是问题是，我们如何理解逻辑对象？除此之外，我没有其他答案，我们将它们视为概念的扩展，或更普遍的函数价值范围。 [摘自Frege 1980的Kaal翻译]
现在尚不清楚弗雷格为什么认为他可以通过说我们将数字作为概念的扩展来回答这里提出的问题。他似乎认为我们可以回答明显的下一个问题：“我们如何理解扩展？”通过说“通过基本法律V”。他在这里的想法似乎是，由于基本法V被认为是纯粹是分析或真实的，因此，每当我们真正判断概念F和G具有重大等效的概念时，我们就会逮捕一对扩展。一些哲学家确实认为，某些具有与基本定律V相同的逻辑形式的一致原则是分析性的，并且这种原则通过以右侧条件的真实为参考来证明对左侧条件中描述的实体的参考。 [15]
