独立友好的逻辑（一）

1. 简介：量词依赖

2. IF逻辑的背景：博弈论语义

2.1.语义游戏

2.2.信息不完善

3. IF 一阶逻辑的语法和语义

3.1.句法

3.2.语义学

3.3.基本属性和概念

3.4.扩展 IF 一阶逻辑

4. IF 一阶逻辑的元逻辑性质

4.1.一阶逻辑和存在二阶逻辑

4.2.否定的复杂性

4.3 公理化失败

4.4 组合性和 Tarski 型语义的失败

4.5 定义真理

4.6 扩展IF一阶逻辑的性质

5. 哲学后果

5.1 类型层次结构中的位置

5.2 集合论哲学

5.3 扩展 IF 一阶逻辑和数学理论

5.4 自然语言中的信息独立性

6. 相关逻辑

6.1 斜杠逻辑

6.2 依赖逻辑

七、结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 简介：量词依赖

在数学散文中，我们可以这样说：“对于所有实数 a 和所有正实数 ε，存在一个依赖于 ε 但不依赖于 a 的正实数 δ，这样……”这里重要的是量词依赖性。存在量词“存在 δ”据说依赖于“对于所有 ε”的全称量词，但不依赖于“对于所有 a”的全称量词。这是 Karl Weierstrass（1815-1897）基础工作的重要组成部分他根据量词依赖性定义了极限、连续性和导数的概念。 [1]举一个具体的例子，函数 f:D→R 是连续的，如果对于集合 D 中的所有 a 且对于所有 ε＞0 存在 δ＞0，使得对于 D 中的所有 x，如果 |x−a|＜δ ，则|f(x)−f(a)|＜ε。一致连续性的定义是从连续性的定义中获得的，通过指定量词“存在 δ”仅依赖于量词“对于所有 ε”，而不依赖于量词“对于所有 a”。[2]

独立友好的一阶逻辑（又名 IF 一阶逻辑，IF 逻辑）由 Jaakko Hintikka 和 Gabriel Sandu 在他们的文章“信息独立作为语义现象”（1989）中介绍；其他早期资料包括 Hintikka 的小册子《Defining Truth, the Whole Truth, and Nothing but the Truth》（1991 年）和 Sandu 的博士论文。论文（1991）。[3] IF 一阶逻辑是一阶逻辑的扩展，涉及特定的句法装置“/”（斜杠，独立指示符），它在对象语言级别具有与元级修饰符“但不依赖”相同的效果on' 在刚刚考虑的例子中已经出现。在 IF 逻辑的表示法中，函数 f 一致连续的陈述的逻辑形式为 (∀a)(∀ε)(∃δ/∀a)(∀x)R，与f 仅仅是连续的，(∀a)(∀ε)(∃δ)(∀x)R。

在本节和下一节的介绍性示例中，让我们将注意力集中在 prenex 形式的公式上：一串量词，后跟一个无量词的一阶公式。如果在这种形式的一阶句子中，存在量词 ∃y 位于全称量词 ∀x 的句法范围内，则根据语义，∃y 自动依赖于 ∀x。这是如此例如用句子 (∀x)(∃y)R(x,y)。 ∃y 对 ∀x 的依赖性意味着 ∃y 的见证可能会随着解释 ∀x 的值而变化。为了使该句子在模型 M 中为真，只要有一个函数 f 使得 R(a,f(a)) 在 M 中成立，对于任何 a 解释 ∀x 就足够了。这些函数阐明了存在量词的证人对全称量词解释的依赖性，在逻辑文献中被称为 Skolem 函数。 [4]作为比较，在句子 (∃y)(∀x)R(x,y) 中，量词 ∃y 不依赖于量词 ∀x。为了使这句话在 M 中成立，∃y 的同一个证人 c 必须能够很好地反对 ∀x 的任何解释 a，以便 R(a,c) 在 M 中成立。相应的 Skolem 函数是一个常数。[5]

在 IF 一阶逻辑中，句法范围不再决定依赖的语义关系。例如，在句子 (∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z) 中，∃z 在语法上从属于 ∀x 和 ∀y，但被标记为独立于 ∀ y，因此仅依赖于 ∀x。从语义上讲，这意味着 ∃z 的见证必须由以 ∀x 的解释为参数的函数给出，而不是 ∀y 的解释。为了使 (∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z) 在 M 中成立，必须存在一个只有一个参数的函数 f，使得 R(a,b,f (a)) 在 M 中成立，对于任何 a 解释 ∀x 和任何 b 解释 ∀y。

使用斜杠符号可以得到什么？毕竟，显然例如(∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z) 在模型 M 中为真 iff[6] 一阶句子 (∀x)(∃z)(∀y)其中R(x,y,z)为真。事实上，中频逻辑的表达能力超过了一阶逻辑。考虑句子 (∀x)(∃y)(∀z)(∃w/∀x)R(x,y,z,w)。它的真值条件具有以下形式：存在单参数函数 f 和 g，使得 R(a,f(a),b,g(b)) 在 M 中成立，对于任何 a 解释 ∀x 和 b 解释∀z。[7]因此，当且仅当以下包含有限偏序量词的句子 (*) 为真时，该句子为真：

∀x∃y

∀z∃w

R(x,y,z,w)

因为，根据定义，(*) 在模型 M 中成立，当且仅当二阶句子 (∃f)(∃g)(∀x)(∀z)R(x,f(x),z,g(z) ) 其中属实。后者可称为 (*) 的 Skolem 范式。它表示存在为 (*) 中的量词 ∃y 和 ∃w 提供见证的 Skolem 函数。有限偏序量词——又名 Henkin 量词或分支量词——由 Leon Henkin (1961) 提出，随后得到了广泛的研究。 [8]它们是二维语法对象

Q11…Q1n

⋮

Qm1…Qmn

其中每个 Qij 是 ∃xij 或 ∀xij。通过系统地使用 Skolem 函数可以自然地解释它们。

让我们用 FPO 表示从一阶逻辑获得的有限偏序量词的逻辑如下：如果 是一阶公式，Q 是有限偏序量词，则 Q 是 FPO 的公式。 [9]使用 FPO 可以表达一阶逻辑中无法定义的属性。第一个例子由 Andrzej Ehrenfeucht 提供（参见 Henkin 1961）：当且仅当其域的大小是无限的时，模型中的句子为真。事实证明，FPO 可以转化为 IF 逻辑（参见 4.1 小节）。因此，IF 逻辑比一阶逻辑更具表现力。

Hintikka 认为，IF 逻辑的最深层原因是量词之间的依赖和独立关系是表达一阶变量之间的依赖和独立关系的唯一方式（Hintikka 1996: 34–35, 73） –74；2002a：404-405；2006a：71、515）。为了正确理解这句话，请记住量词依赖关系是语义关系，但在语法上表达。更准确地说，在 IF 逻辑中，（内）依赖关系在句法上由两个因素的相互作用来表达：句法范围和独立指示符“/”。例如，在给定的句子中，存在量词 ∃x 精确地依赖于那些范围 ∃x 所在的全称量词，但 ∃x 没有使用斜杠标记为独立的。当 Hintikka 谈到变量之间的（内）依赖关系时，他的意思是模型中数量之间的函数依赖关系。物质体的动能取决于其质量和速度，但不取决于所考虑的特定物质体。这个事实可以用 IF 逻辑的句子来表达

(∀b)(∀m)(∀v)(∃e/∀b)（如果b是以速度v运动且质量为m的物质体，则b的动能e等于

1

2

MV2）。

这句话指出动能对质量和速度存在函数依赖性，这一点从以下事实中可以特别清楚地看出：如果这句话为真，那么量词 ∃e 的唯一 Skolem 函数实际上就是连接质量、速度和速度的物理定律。动能（参见 Hintikka 1996：34–35）。

一阶逻辑只能表达变量之间的一些关系，而IF一阶逻辑以其更强的表达能力可以表达更多的关系。实际上，计算 IF 逻辑是为了捕获所有此类关系（Hintikka 1996：75-77；2002a：404-405；2002b：197；2006a：72）。从其全面的普遍性来看，这个想法必须被视为具有纲领性。对于更通用的框架，请参见。 Hintikka (2006a: 515, 536, 752; 2008)，Sandu & Sevenster (2010)，Sandu (2013)，Sandu (2014)。

与 IF 逻辑相关的哲学问题包括一阶数学推理的重构 (Hintikka 1996, 1997)、自我应用真值谓词的可定义性 (Hintikka 1991, 1996, 2001; Sandu 1998) ，真理和公理集合论（Hintikka 1996， 2004a），以及对否定本质的见解（Hintikka 1991、1996、2002；Hintikka & Sandu 1989；Sandu 1994）。这些问题将在第 4 节和第 5 节中讨论。

2. IF逻辑的背景：博弈论语义

2.1.语义游戏

受到路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）语言游戏思想的启发，Hintikka（1968）引入了后来被称为博弈论语义（又名 GTS）的基本框架。 Hintikka 从维特根斯坦那里学到的基本教训是，词语——尤其是量词——与使它们有意义的活动相关联：词语通常仅在某些类型的行动的背景下才有意义（Hintikka 1968：55-56）。维特根斯坦说，他所说的“语言游戏”是指“由语言和语言所交织的动作组成的整体”（Wittgenstein 1953：I，第 7 节）。

人们自然会问哪些活动与量词相关。正如 Hintikka 所解释的（参见 Hintikka 2006a: 41, 67），维特根斯坦将其作为某物成为可寻找和发现的对象的标准。将这一想法应用于具有诸如值之类的对象的量词，Hintikka 为量词制定了语义游戏。至关重要的是，这些语义游戏可以被表述为严格意义上的博弈论游戏。但与此同时，它们是维特根斯坦意义上的语言游戏的精确编纂，至少如果人们承认与量词相关的活动是“寻找”和“发现”。 [10]

一阶句子 的语义博弈 G(phi,M) 是完美信息的两人零和博弈，在给定模型 M 上进行。我们将这两个玩家简单地称为玩家 1 和玩家 2。[11]这些游戏最容易用 prenex 形式的句子来解释。全称量词标记玩家 1 的移动，而存在量词提示玩家 2 的移动。在这两种情况下，相关玩家必须从 M 的域 M 中选择一个个体。[12]如果

ψ=(∀x)(∃y)(∀z)(∃w)R(x,y,z,w),

游戏玩法如下。首先，玩家 1 选择个体 a，然后玩家 2 选择个体 b。然后玩家 1 继续选择另一个个体 c，玩家 2 通过挑选个体 d 来对此做出响应。至此，一局游戏结束。所选个体的元组 (a,b,c,d) 决定了比赛的获胜者。如果无量词公式 R(a,b,c,d) 在 M 中成立，则玩家 2 获胜，否则玩家 1 获胜。

一名玩家赢得单次游戏 G(phi,M) 的事实并没有告诉我们任何关于句子 phi 的真值。真理和谬误的特征在于制胜策略的概念。如果在刚才描述的游戏中玩家 2 存在获胜策略，则句子 (∀x)(∃y)(∀z)(∃w)R(x,y,z,w) 在 M 中为真：菜谱讲述当给出有关对手先前动作的（指定数量的）信息时，玩家 2 该怎么做。从技术上讲，要求是存在策略函数 f 和 g，使得对于玩家 1 的任何选择 a 和 c，R(a,f(a),c,g(a,c)) 在 M 中成立。观察到策略函数 f 是 phi 中量词 ∃y 的 Skolem 函数，类似地 g 是量词 ∃w 的 Skolem 函数。如果在相应的游戏中玩家 1 存在一个获胜策略（策略函数集），则句子 phi 在 M 中为假：一个常数 c 和一个函数 h，使得对于玩家 2 的任何选择 b 和 d，R(c, b,h(b),d) 无法在 M 中成立。

Henkin 已经提出了量词的博弈论解释（1961；参见 Hintikka 1968：64）。 Henkin 还指出，实际上，整套 Skolem 函数与玩家 2 的获胜策略之间的联系。 Hintikka (1968) 指出，合词自然地由玩家 1 在两个合词之间做出的选择来解释；类似地，析取可以通过玩家 2 在两个析取之间的选择来解释。 [13]此外，Hintikka 提议将否定解释为“验证者”和“证伪者”角色的互换（更多详细信息，请参见第 3.2 节）。

语义游戏的博弈论描述没有提到搜索和发现的活动；对于这样一个抽象的描述，只要谈论玩家采取行动就足够了。此外，将真理和虚假描述为玩家 2 和玩家 1 各自的获胜策略的存在，并不是指玩家的努力——比如建立真相或寻找证人的努力。句子的真假是一个“组合学”问题：它是一组具有某些属性的函数是否存在的问题（参见 Hintikka 1968，1996；Hodges 2013）。那么，量词的含义与搜索和发现活动联系在一起的原始哲学概念发生了什么？ Hintikka 的想法是，断言一个涉及量词的句子就是对玩某种语言游戏时可以发生什么和不能发生什么做出断言；使用涉及量词的语言需要掌握相应的语义游戏规则（Hintikka 1968：Sect.8、1996：128、2006a：538）。与句子 ∀x∃yR(x,y) 相关的这种主张的内容是什么？无论玩家 1 从 ∀x 的域中选择哪个个体，玩家 2 都可以找到 ∃y 的见证个体。换句话说，给定 ∀x 的值（它本身可以被视为玩家 1 搜索的结果），如果允许玩家 2 不受任何实际约束的搜索，她将找到 ∃y 的值，使得玩家 2 赢得了最终的比赛。尽管语义游戏本身可以在不依赖寻找或发现等活动的情况下定义，但当语言用户推理这些游戏时，这些活动发挥着重要的概念作用。

Hintikka (1973a) 开创了GTS 在自然语言研究中的应用。这项工作主要由 Hintikka 和 Kulas (1983, 1985) 继续进行，其中给出了否定、照应代词、属格、时态、内涵动词、某些介词结构和专有名称等项目的博弈论规则，以及抽象意义和战略意义的绘制。[14]

2.2.信息不完善

GTS 的框架能够提出有关语义评估的博弈论性质的问题。 Hintikka (1973a) 观察到，信息不完善的语义游戏的设计没有任何困难。作为逻辑例子，他使用了 FPO 句子。 （有关自然语言的示例，请参阅第 5.4 节。）

从GTS的角度来看，独立友好的一阶逻辑与一阶逻辑的不同之处在于，与前者的公式相关的语义博弈通常是不完全信息的博弈，而与一阶公式相关的任何博弈都是完美信息的游戏。考虑在模型 M 上进行的 ∀x∃y∀z(∃w/∀x)R(x,y,z,w) 游戏。该游戏的进行与对应于 ∀x 的游戏的进行完全一样∃y∀z∃wR(x,y,z,w)。首先，玩家 1 选择个体 a，随后玩家 2 选择个体 b。然后玩家 1 继续挑选另一个个体 c，玩家 2 通过选择个体 d 来响应该个体 c。至此，一局游戏就结束了。如果 R(a,b,c,d) 确实在 M 中成立，则玩家 2 获胜；否则，玩家 1 获胜。但是 ∃w 被标记为独立于 ∀x – 为什么这个事实在比赛过程中没有以任何方式显示出来？

人们可能会想在游戏的描述中添加这样的内容：“玩家 2 在不知道 ∀x 的值的情况下选择了 ∃w 的值。”然而，这样的解释并不能澄清概念情况。就单个游戏而言，谈论一个动作与其他给定动作的独立性是没有意义的；这只能参考大量的戏剧才能完成。量词独立性可以利用策略概念用博弈论术语来概念化。在示例中，玩家 2 的策略是策略函数的集合 {f,g}，函数 f 根据 ∀x 的值提供 ∃y 的值，函数 g 根据 ∀x 的值提供 ∃w 的值为 ∀z 选择，但不为 ∀x 选择的值。那么，策略 {f,g} 是玩家 2 的获胜策略，当且仅当 R(a,f(a),c,g(c)) 在 M 中成立，对于为 ∀x 选择的所有值 a 和 c 选择的值对于 ∀z。实现玩家 2 对玩家 1 对 ∀x 采取的行动“一无所知”这一想法的一种精确方法是，(a) 策略函数始终仅将对手的行动作为参数，以及 (b) 对应于∃w 不能将玩家 1 对 ∀x 的走棋作为其参数。

IF 一阶逻辑的句子根据定义，在模型 M 中当且仅当在相关游戏中存在玩家 2 的获胜策略时为 true，当且仅当在相关游戏中玩家 1 存在获胜策略时为假。根据这些标准，有些句子既不正确也不错误；它们被称为未确定的（参见第 3.3 节）。

根据 Hintikka 的判断，量词的博弈论语义可以被认为具有与第 1 节末尾提到的 IF 一阶逻辑的最深层原因相同的基本原理：GTS 是一种表示方法，在第一节中秩序水平，博弈论意义上的信息（内）依赖关系变量之间的（内）依赖关系（Hintikka 1991：12-13， 2006a：535）。