遍历层次结构（一）

1.动力系统

2. 遍历性

3. 遍历层次结构

4. 遍历层次结构和统计力学

4.1 玻尔兹曼SM

4.2 吉布斯SM

5. 遍历层次结构和随机性

6.“免申请”费用

7.遍历层次结构和混沌

八、结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.动力系统

遍历理论的研究对象是动力系统。我们首先通过一个简单的例子介绍一些基本概念，从中抽象出动力系统的一般定义。有关动力系统现代概念和 EH 相关概念的简史，请参阅附录 A 部分。

天花板上的弹簧上悬挂着一个铅球。然后我们把它拉低一点然后放开。球开始摆动。球的机械状态完全由其质心位置 x 和动量 p 的规范确定；也就是说，如果我们知道 x 和 p，那么我们就知道有关球的机械状态的所有信息。如果我们现在将 x 和 p 连接到一个向量空间中，我们就得到了系统的所谓相空间 X（有时也称为“状态空间”）。[1]图 1 中展示了球上下移动状态的二维相空间（即，相空间具有一维用于表示球的位置，一维用于表示其动量）。

图1

图 1：球在弹簧上的运动。

X 的每个点代表球的一种状态（因为它给出了球的位置和动量）。因此，球状态的时间演化由 X 中的一条线表示，即所谓的相空间轨迹（从现在起为“轨迹”），显示系统在每个时刻在相空间中的位置。例如，假设在时间 t=0 时，球位于点 x1，然后移动到 x2，并在时间 t=5 时到达。该运动在 X 中由连接点 γ1 和 γ2 的线段表示。换句话说，球的运动在X中通过代表球的（瞬时）状态的点的运动来表示，并且球在一定时间内所处的所有状态共同形成了一条轨迹。该点的运动有一个名称：它是相流 ψt。如果我们指定球在 t=0 时的位置，则相流会告诉我们球在稍后时间 t 的位置；或者，打个比方， ψt 在 X 中拖动球的状态，使得状态的运动代表真实球的运动。换句话说， 是系统时间演化的数学表示。球在时间 t=0 时的状态通常称为初始条件。然后 phit 告诉我们，对于相空间中的每个点，如果选择它作为初始条件，该点将如何演化。在我们的具体示例中，点 γ1 是初始条件，并且我们有 γ2=phit=5(γ1)。更一般地，我们将球的初始条件称为 γ0，并令 γ(t) 为球在稍后时间 t 的状态。那么我们有 γ(t)=phit(γ0)。如图 2a 所示。

图2

图 2：相空间的演化。

由于 phit 告诉我们 X 中的每个点它如何随时间演化，因此它也告诉我们点集如何移动。例如，在X中选择任意一个集合A；则 ψt(A) 是 A 在系统动力学下经过 t 个时间单位后的像。图 2b 对此进行了说明。当我们考虑这种数学形式主义的物理应用时，考虑点集而不是单个点很重要。我们永远无法确定球在弹簧上弹跳的确切初始条件。无论我们如何精确地测量 γ0，总会存在一些测量误差。所以在实际应用中我们真正想知道的不是一个精确的数学点如何演化，而是围绕初始条件γ0的一组点如何演化。在我们的球示例中，进化是“驯服的”，因为集合保持其原始形状。正如我们将在下面看到的，情况并非总是如此。

X 的一个重要特征是它具有所谓的测度 μ。我们熟悉许多上下文中的度量：从数学的角度来看，我们归因于线的一部分的长度、我们归因于平面的一部分的表面以及我们归因于空间片段的体积是措施。度量只是一种将“大小”归因于空间的一部分的装置。尽管 X 是一个抽象的数学空间，但测度的主要思想仍然相同：它是量化集合大小的工具。因此，我们说集合 A 具有测量 μ(A)，就像我们说普通空间的点的某个集合（例如位于瓶子内部的点）具有一定的体积（例如例如一升）。

从更正式的角度来看，度量将数字分配给集合 X 的某些子集（有关正式定义，请参阅附录 B）。这可以通过不同的方式来完成，因此有不同的措施。考虑飞机的例子。有一种方法可以简单地将平面的每个适当区域分配给该区域的面积。但现在想象一下我们在飞机上倒了一桶糖。糖分分布不均匀；有的地方几乎没有糖，有的地方几乎没有糖。与面积测量不同的一种测量是为一个区域分配一个等于该区域糖含量的数字。其中一项措施特别重要，即所谓的勒贝格措施。这个度量有一个直观的解释：它只是我们在几何中常用的度量的精确形式化。区间 [0, 2] 的勒贝格测度为 2，区间 [3, 4] 的勒贝格测度为 1。在二维中，边长为勒贝格测度 2 的正方形的勒贝格测度为 4；虽然这听起来很简单，但相当涉及数学测度理论。我们在附录 B 节中阐述了测度论的基础知识，并在下文中避免诉诸测度论中的技术问题。

到目前为止讨论的基本要素是相空间 X、时间演化 ψt 和测度 μ。这些也是抽象动力系统定义的要素。抽象动力系统是一个三元组 [X,μ,Tt]，其中 {Tt∣t 是一个时刻} 是一个自同构族，即 X 到自身的变换族，具有 Tt1+t2= 的性质Tt1(Tt2) 对于所有 x∈X (Arnold and Avez 1968, 1)；我们在下面详细讨论时间。[2]在上面的例子中，X 是球运动的相空间，μ 是勒贝格测度，Tt 是 phit。

到目前为止，我们已经将 Tt 描述为系统的时间演化。现在让我们从更数学的角度来看待这个问题：Tt 的效果是，在 t 时间单位过去后，它为 X 中的每个点分配 X 中的另一个点。在上面的示例中，在 t=5 秒后，γ1 在 phit 下映射到 γ2。因此，从数学角度来看，系统的时间演化在于 X 到自身的映射，这就是为什么上述定义将 Tt 视为 X 到自身的映射族。这样的映射是一个处方，它告诉你 X 中的每个点 x 映射到 X 中的哪个其他点（从现在开始，我们使用 x 来表示 X 中的任何点，它不再成立，如上面的示例所示，为球的位置）。

遍历理论研究的系统是前向确定性的。这意味着，如果该系统的两个相同副本在某一时刻处于相同状态，那么它们在未来的所有时刻都必须处于相同状态。直观地说，这意味着在任何给定时间内，系统只有一种方式可以向前发展。关于决定论的讨论参见 Earman (1986)。

应该指出的是，在抽象动力系统中没有特定的解释。我们用力学的例子来激发这个定义，但动力系统并不与该背景相关。它们本身就是数学对象，因此可以独立于特定应用来研究它们。这使它们成为许多不同领域的多功能工具。事实上，动力系统广泛应用于物理学、生物学、地质学和经济学等多个领域。

有许多不同类型的动力系统。三个最重要的区别如下。

离散时间与连续时间。我们可以考虑离散的时间瞬间或连续的时间瞬间。为了便于表述，我们将在第一种情况下说时间是离散的，在第二种情况下说时间是连续的。这只是一个方便的术语，对于时间本质上是离散的还是连续的没有任何影响。在上面的例子中，球时间是连续的（它被视为一个实数）。但通常将时间视为离散的是很方便的。如果时间是连续的，则 t 是实数，自同构族为 {Tt∣t∈R}，其中 R 是实数集合。如果时间是离散的，则 t 在集合 Z={…−2,−1,0,1,2,…} 中，自同构族为 {Tt∣t∈Z}。为了表明我们正在处理一个离散的家庭而不是一个连续的家庭，我们有时将“Tt”替换为“Tn”；这只是一个没有概念重要性的符号约定。[3]在此类系统中，从一个时刻到下一个时刻的进展也称为“步骤”。例如，在种群生物学中，我们经常想知道种群在典型的繁殖时间内（例如一年）如何增长。在此类群体的数学模型中，X 中的点代表群体的大小（而不是如上例所示的球的位置和动量），变换 Tn 代表 n 个时间单位后群体的增长。一个简单的例子是 Tn=x+n。

自同构的离散族有一个有趣的特性，即它们是由一次映射生成的。正如我们上面所看到的，所有自同构都满足 Tt1+t2=Tt1(Tt2)。由此可知 Tn(x)=T

n

1

(x)，即 Tn 是 T1 的第 n 次迭代。从这个意义上说，T1 生成 {Tt∣t∈Z}；或者，换句话说，{Tt∣t∈Z} 可以“简化”为 T1。因此，人们经常去掉下标“1”，简单地将映射称为“T”，并将动力系统写为三元组 [X,μ,T]，其中 T=T1。

为了便于演示，我们从现在开始使用离散变换。我们在下面制定的定义和定理可以继续进行连续变换，如果情况并非如此，我们会明确说明并分别处理这两种情况。

测量保留与非测量保留转换。粗略地说，如果一个集合（如上例中的集合 A）的大小不随时间变化而变化，则变换是测度保留：一个集合可以改变其形式，但不能缩小或增长（相对于测度） ）。形式上，T 是 X 上的保测变换当且仅当 (iff) 对于 X 中的所有集合 A：μ(A)=μ(T−1(A))，其中 T−1(A) 是集合T 下映射到 A 的点的数量；即 T−1(A)={x∈X∣T(x)∈A}.[4]从现在开始，我们还假设我们考虑的变换是测度保持的。[5]

总之，从现在开始，除非另有说明，我们考虑离散测度保留变换。

为了引入遍历性的概念，我们必须引入 X 上函数 f 的相位和时间均值。从数学上来说，函数为 X 中的每个点分配一个数字。如果数字始终为实数，则该函数是实值函数；如果数字可能很复杂，那么它就是一个复值函数。直观上，我们可以将这些数字视为代表感兴趣的物理量。回想一下弹跳球的例子，f 可以为相空间 X 中的每个点分配系统在该点的动能；在这种情况下，我们将有 f=p2/2m，其中 m 是球的质量。对于每个函数，我们可以采用两种平均值。第一个是无限时间平均值 f*。时间平均值的一般概念在日常生活中很常见。您连续三个星期六都买彩票。第一个你赢 10 美元；第二个你赢 10 美元。第二次你什么也没赢得；第三次你赢了 50 美元。您的平均收益为 ($10 + $0 + $50)/3 = $20。从技术上讲，这是一个时间平均值。这个简单的想法可以很容易地在动态系统中使用：跟踪系统随时间的演变（请记住，我们现在讨论的是离散时间点的平均值），在每一步取相关函数的值，添加值，然后除以步数。这产生

1

k

k−1

Σ

我=0

f(Ti(x0)),

在哪里

k−1

Σ

我=0

f(Ti(x0)),

只是一个缩写

f(x0)+f(T1x0)+…+f(Tk−1x0)。

这是 k 步骤后 f 的有限时间平均值。如果系统的状态继续无限演化并且我们永远跟踪系统，那么我们得到无限时间平均值：

f*=

林

k→无穷大

1

k

k−1

Σ

我=0

f(Ti(x0)),

其中符号“lim”（来自拉丁语“limes”，意思是边界或限制）表示我们让时间趋向于无穷大（数学符号：∞）。有一点值得特别注意，因为它稍后将变得至关重要：上面表达式中 x0 的存在。时间平均值取决于系统的启动位置；即，它们取决于初始条件。如果进程在不同的状态下启动，则平均时间可能会有所不同。

接下来我们有空间平均值

ˉ

f

。让我们再次从一个通俗的例子开始：某所学校学生的平均身高。这很容易计算：只需计算每个学生的身高，将所有数字相加，然后将结果除以学生人数。从技术上讲，这是一个空间平均值。例子中学校的学生对应X中的点；事实上，我们对每个学生计数一次（例如，我们不会两次考虑约翰的身高并忽略吉姆的身高），这一事实对应于选择为 X 中的每个点赋予相同“权重”的度量。在我们的例子中没有垂饰，这是故意的：空间平均值与系统的动态无关（这就是它们与时间平均值的区别）。空间平均的一般数学定义如下：

ˉ

f

=∫xf(x)dμ,

其中 ∫X 是相空间 X 上的积分。[6]如果空间由离散元素组成，例如学校的学生（他们是“离散”，因为你可以对他们进行计数），那么积分就相当于一个总和，就像我们确定人口平均身高时所得到的总和一样。如果 X 是连续的（如上面的相空间），事情就会变得更加复杂。

2. 遍历性

有了这些概念，我们现在可以定义遍历性。[7]动力系统 [X,μ,T] 是遍历的 iff

f*=

ˉ

f

对于所有复值勒贝格可积函数 f 几乎无处不在，这意味着几乎所有初始条件。 “几乎无处不在”这一限定是不平凡的，它是统计力学基础中一个著名问题的根源，即所谓的“测度零问题”（我们将在第 3 节中讨论）。因此，值得仔细分析这种情况所涉及的内容。并非所有集合都有有限的大小。事实上，有几组零测度。这听起来可能很抽象，但却很自然。拿一把尺子测量某些物体的长度。例如，你会发现你的铅笔长 17 厘米——用数学语言来说，这意味着铅笔的一维勒贝格测度是 17。现在测量一个几何点并回答问题：这个点有多长？答案是这样的点没有延伸，因此它的长度为零。用数学术语来说：由几何点组成的集合是测度零集。对于两个几何点的集合也是如此：两个几何点在一起也没有延伸，因此测量值为零。另一个例子如下：您有测量平面上物体表面的设备。你发现一张A4纸的表面积为623.7平方厘米。然后你会被问到一条线的曲面是什么。答案是：零。线没有曲面。因此，相对于二维勒贝格测量线，测量零集。

在遍历理论的背景下，“几乎无处不在”，根据定义，意味着“X 中的任何地方，也许除了一组零测度之外”。也就是说，每当一个断言被限定为“几乎无处不在”时，就意味着它对于 X 中的某些点可能是错误的，但这些点加在一起的度量为零。现在我们可以解释该短语在遍历性定义中的含义。正如我们在上面看到的，时间平均值（但不是空间平均值！）取决于初始条件。如果我们说 f*=

ˉ

f

几乎在所有地方，我们的意思是所有那些结果证明 f ≠ 的情况的初始条件

ˉ

f

一起形成一组零测量——它们就像平面上的一条线。

有了对遍历性定义的理解，我们现在可以讨论遍历系统的一些重要属性。考虑 X 的子集 A。例如，再次考虑振荡球的示例，取相空间的左半部分。然后定义所谓的 A,fA 的特征函数，如下：对于 A 中的所有 x，fA(x)=1；对于不在 A 中的所有 x，fA(x)=0。将此函数代入遍历性的定义中，得到：f

*

一个

=μ(A)。这意味着系统状态在集合 A 中花费的时间比例与该集合的度量成正比。为了使这一点更加直观，假设测量值已标准化：μ(X)=1（这是一个非常常见且没有问题的假设）。如果我们选择 A 使得 μ(A)=1 ⁄ 2，那么我们就知道系统有一半的时间在 A 上；如果 μ(A)=1 ⁄ 4，则四分之一的时间花在 A 上；正如我们将在下面看到的，遍历系统的这种性质在统计力学的某些方法中起着至关重要的作用。

由于我们可以按照自己的意愿自由选择 A，因此我们立即得到另一个重要结果：只有当系统的轨迹可以访问 X 的正测度的所有部分（即，如果轨迹任意靠近 X 中的任何点）时，系统才是遍历的随着时间趋于无穷大，会出现无限多次。这意味着遍历系统的相空间被称为度量不可分解（或者也“不可约”或“不可分”）：T 下的每个集合不变量（即，在 T 下映射到自身的每个集合）具有测度 0 或 1因此，X 不能分为两个或多个在 T 下不变的子空间（非零测度）。相反，非遍历系统是。度量上可分解的。因此，度量不可分解性和遍历性是等价的。图 3 示意性地说明了度量可分解系统。

图3

图 3：可约系统：P 区域中的任何点都不会演变成 Q 区域，反之亦然。

最后，我们想陈述一个定理，该定理将在第 4 节中变得很重要。人们可以证明一个系统是遍历的 iff

林

n→无穷大

1

n

n−1

Σ

k=0

μ(TkB∩A)=μ(b)μ(A)

对于 X 的所有子集 A 和 B 都成立。虽然这个条件没有直接直观的解释，但我们将在下面看到它对于理解我们在遍历系统中发现的随机性至关重要。

3. 遍历层次结构

事实证明，遍历性只是整个动力学属性层次结构的底层。这种层次结构称为遍历层次结构，对这种层次结构的研究是称为遍历理论的数学学科的核心任务。这种术语的选择有些误导，因为遍历性只是这个层次结构的底层，因此 EH 包含的不仅仅是遍历性，而且遍历理论的范围也远远超出了遍历性。遍历理论（如此理解）是动力系统理论的一部分，它研究比遍历理论更广泛的动力系统。

EH 是动力学属性的嵌套分类。层次结构通常表示为由以下五个级别组成：

伯努利 ⊂ 柯尔莫哥洛夫 ⊂ 强混合 ⊂ 弱混合 ⊂ 历经

该图旨在表明所有伯努利系统都是柯尔莫哥洛夫系统，所有柯尔莫哥洛夫系统都是强混合系统，等等。因此 EH 中的所有系统都是遍历的。然而，相反的关系并不成立：并非所有遍历系统都是弱混合，等等。在下文中，遍历但非弱混合的系统被称为仅遍历，对于接下来的三个级别也类似。 [8]