逻辑代数传统（三）
继德·摩根的论文之后，皮尔斯在 1870 年发表的论文《亲戚逻辑符号的描述，源于布尔逻辑演算概念的放大》中，将布尔的工作提升到二元关系的背景——用二元关系除了并集、交集和补集之外，还有合成和逆运算的自然运算。二元关系的特征是一组有序对（参见 3.328）。他在 1870 年至 1883 年间研究了这种新的微积分。与德·摩根一样，皮尔斯也考虑了其他一些关于关系的自然运算。皮尔士关于这个主题的主要论文是“论逻辑代数”（1880）。通过使用无限制的并集（用 Σ 表示）和无限制的交集（用 Π 表示），皮尔士将量词引入了他的逻辑代数中。
在 1882 年的一篇论文《亲属代数的简要描述》（1966 年在 De Morgan 上重印）中，他使用这些量词通过对某种系数的运算来定义关系运算。德·摩根因引入关系概念而受到赞誉，但皮尔士被认为是关系理论的真正创造者（参见，例如，Tarski 1941：73）。然而，皮尔斯并没有发展这个理论。正如卡利克斯托·巴德萨（Calixto Badesa）所写，“皮尔士从来不喜欢亲戚的计算”（Badesa 2004：32）。他认为它太复杂了，因为类操作与关系操作相结合。相反，从 1885 年开始，他更倾向于发展一种包括量词但不涉及关系运算的“一般代数”。通过这种方式，他对现在所谓的一阶逻辑进行了基本且非正式的表述（参见 Badesa 2004，前述）。
7. 施罗德对逻辑代数的系统化
德国数学家恩斯特·施罗德在逻辑代数传统中发挥了关键作用。一个很好的例子是他向皮尔斯发起挑战，要求他提供分配律的证明，这是具有两个二元运算的代数的关键方程性质之一。 Peirce (1885) 承认他无法提供证明。多年后，亨廷顿（Huntington，1904：300-301）描述了 1903 年 12 月他从皮尔士那里收到的一封信的部分内容，信中声称提供了缺失的证据——显然，皮尔士在 1902 年施罗德去世后偶然发现了长期丢失的几页。皮尔斯向亨廷顿解释说，他最初认为施罗德的挑战是有充分根据的，而他的论文的明显缺点“是。”由于该文件中充斥着流行病，因此被添加到错误列表中……”。事实上，皮尔士的证明并没有纠正错误，因为分配律在一般格中并不成立。相反，他的证明引入了补足运算——他使用了公理
如果
一个
�
不包含在补码中
乙
�
然后
一个
�
和
乙
�
有一个共同的下限。
在他之前的代数著作的基础上，施罗德在 19 世纪末写了一部百科全书式的三卷本著作，名为 Vorlesungen über die Algebra der Logik（1890-1905），建立在包含现代类语义的框架之上，如皮尔斯。这项工作是他代数研究的成果，并揭示了不同的影响。施罗德的目标是建立一种可应用于许多数学领域的通用代数理论，其中逻辑代数是其核心。正如杰拉尔丁·布雷迪（Geraldine Brady）所指出的，它首次阐述了抽象格理论，首次阐述了戴德金之后的戴德金链理论，是关系演算最全面的发展，并且在数学基础上处理了数学基础。关系演算（参见 Brady 2000：143 f.）
第一卷涉及类的方程逻辑，主要结果是Boole的1854年淘汰定理。在VOL的附录中出现了三个相当复杂的反列表。我，其中一个涉及九百九十个准流群的身份。根据这一卷，Dedekind（1897）构成了一个优雅的现代抽象呈现（他称为Dualgruppen）；在本文中，他介绍了皮尔斯（Peirce）对分配法的主张的五元素反面。
卷II卷增加了卷I中开发的类的逻辑代数，以便可以处理存在语句。首先，使用现代语义，Schröder证明了一个人不能使用方程来表达“某些
X
�
是
是
�
”。但是，他指出，一个人可以轻松地用否定的方程式表达它，即
X
是
≠
0
�
�
≠
0
。第二卷是对使用方程式和否定方程式的类的计算的研究，试图涵盖VOL中涵盖的相同主题。我尤其是致力于寻找消除定理的巨大努力。在处理了几种特殊情况之后，Schröder推荐该主题作为一个重要的研究领域 - 对消除定理的追求将被称为消除问题。
Schröder主要受到Peirce的作品的启发，研究了第1卷中二元关系的逻辑代数。他的Vorlesungenüber模具代数Logik的III。正如塔斯基（Tarski）曾经指出的那样，施罗德（Schröder）继续以非常彻底和系统的方式继续进行皮尔斯（Peirce）的作品。对他特别着迷的一件是：给定等式
乙
（
x
,
y
,
z
,
……
）
=
0
�
（
�
,
�
,
�
,
……
）
=
0
在此代数中，找到一个关系符号之一的一般解决方案，说明
x
�
，就其他关系符号而言。他管理了一个特定的解决方案
x
=
x
0
�
=
�
0
，找到一个非凡的术语
S
（
t
,
y
,
z
,
……
）
�
（
�
,
�
,
�
,
……
）
具有以下属性：（1）
x
=
S
（
t
,
y
,
z
,
……
）
�
=
�
（
�
,
�
,
�
,
……
）
产生解决方案
乙
=
0
�
=
0
对于任何关系的选择
t
�
，和（2）每个解决方案
x
�
的
乙
=
0
�
=
0
可以通过选择合适的
t
�
。 Schröder对解决方程式问题的关注并没有给Peirce留下深刻的印象，并指出Schröder的参数解决方案有点骗局，这是一个骗局 - 关系代数的表达力是如此强大，以至于通过评估一词来评估
S
（
t
,
y
,
z
,
……
）
�
（
�
,
�
,
�
,
……
）
一个实质上是在检查是否的步骤
乙
（
t
,
y
,
z
,
……
）
=
0
�
（
�
,
�
,
�
,
……
）
=
0
;如果答案是肯定的话
S
（
t
,
y
,
z
,
……
）
�
（
�
,
�
,
�
,
……
）
返回值
t
�
，否则它将返回值
x
0
�
0
。
总结，Schröder构建了现代谓词逻辑的代数版本，也建立了一种关系理论。他将其应用于不同的领域（例如Cantor的集合理论），并将其代数符号视为通用或通用语言（Pasigraphy，请参见Peckhaus 2004和Legris 2012）。值得注意的是，洛恩海姆（Löwenheim）在1940年仍然认为这与集合理论一样合理。据他说，施罗德（Schröder）解决关系方程式的想法是Skolem函数的先驱，而Schröder启发了Löwenheim的表述和著名定理的证明，即每个“算术”句子都具有无限模型的每个“算术”句子都有一个可计数的模型。 Schröder的关系计算是哈佛大学（Wiener 1913）诺伯特·维纳（Norbert Wiener）（1894-1964）博士学位论文的基础。根据布雷迪（Brady）的说法，维纳（Wiener）对关系的计算进行了第一次公理处理，在塔斯基（Tarski）的公理化之前，维也纳（Tarski）的公理化疗法超过二十年（见布雷迪（Brady）2000：165）。
8.亨廷顿：对逻辑代数的公理调查
在19世纪初，戴维·希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943年）在他的Grundlagen der Geometrie中介绍了Euclidean几何形状，作为一个不依赖其证明图的公理主题（Hilbert 1899）。这导致了研究数学中的公理系统的兴趣。特别是一个人想知道公理是否是独立的，哪些原始素导致了最优雅的系统。爱德华·弗里米里·亨廷顿（Edward Vermilye Huntington，1874- 1952年）是第一个研究该问题的逻辑代数之一。他给出了逻辑代数的三个公理，显示了每组公理都是独立的，并且它们是等效的（见Huntington 1904）。 1933年，他带着三组新的公理回到了这个话题，其中一个包含以下三个方程式（1933：280）：
一个
+
乙
=
乙
+
一个
（
一个
+
乙
）
+
c
=
一个
+
（
乙
+
c
）
（
一个
′
+
乙
′
）
′
+
（
一个
′
+
乙
）
′
=
一个
。
�
+
�
=
�
+
�
（
�
+
�
）
+
�
=
�
+
（
�
+
�
）
（
�
′
+
�
′
）
′
+
（
�
′
+
�
）
′
=
�
。
此后不久，赫伯特·罗宾斯（Herbert Robbins）（1915–2001）猜想第三个方程可以用稍微简单的
[
（
一个
+
乙
）
′
+
（
一个
+
乙
′
）
′
]
′
=
一个
。
[
（
�
+
�
）
′
+
（
�
+
�
′
）
′
]
′
=
�
。
亨廷顿和罗宾斯都无法证明这一点，后来它经受了许多其他人的努力，包括塔斯基和他在伯克利的才华横溢的学校。在Winker的部分结果基础上，由Argonne National Laboratory的William McCune设计的自动定理宣传EQP在1996年发现了Robbins猜想的证据。这项成就在Kolata 2010中普及了。
根据亨廷顿（1933：278）的说法，亨利·M·谢弗（Henry M.联合排除，现在被称为Sheffer Stroke（见Sheffer 1913）。怀特黑德（Whitehead）和罗素（Russell）在第二版《原理》的序言中声称，Sheffer Stroke是自Principia发布以来逻辑上最大的进步。 （相比之下，希尔伯特和阿克曼（Hilbert and Ackermann，1928年）说，谢弗尔中风只是一种好奇。）既没有意识到几十年前施罗德（Schröder一把双刃剑。
在1930年代，加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff，1911–1996）建立了方程逻辑的基本结果，即（1）代数的方程类别是同质性，亚代词和直接产物下的类别，是基于五个规则的类别的类别。 ：反射性，对称性，传递性，替代和替代。在1940年代，塔斯基（Tarski）加入了这一方程逻辑的发展。从1950年代到现在，该受试者迅速发展。
9.石：逻辑代数的模型
传统逻辑研究了班级之间的某些简单关系，即是与与非空的相交的子类。但是，一旦人们采用了公理方法，明显模型的主题就浮出水面。贝尔特拉米（Beltrami）在1860年代后期引入了非欧几里得几何形状的模型。在1890年代，Schröder和Dedekind构建了晶格理论公理的模型，以表明分配定律没有遵循。但是，当涉及类的代数时，Schröder仅考虑了标准模型，即每个模型都是给定类的所有子类的集合。
直到1920年代后期，对布尔代数公理的一般模型的研究才开始进行。马歇尔·哈维·斯通（Marshall Harvey Stone，1903 - 1989年）的作品很快就达到了很高的水平（请参阅他的论文1936，1937）。他对线性操作员的环结构感兴趣，并意识到中心的构造者，即操作员
乙
�
在乘法下与环中的所有其他操作员通勤（即，
乙
L
=
L
乙
�
�
=
�
�
为所有人
L
�
在环中），在乘法下是dip的（
乙
乙
=
乙
�
�
=
�
）发挥了重要作用。自然而然的方式，中央愿意形成了布尔代数。
追求这一研究方向导致斯通询问任意布尔代数的结构，他回答了这个问题，证明了每个布尔代数都对布尔格拉的布尔代数同构。他在布尔代数的工作中注意到了同构的内核与戒指理论研究的理想之间的某种类比，这使他给了这样的内核称呼为“理想”。此后不久，他发现了布尔代数和布尔戒指之间的翻译。在这种翻译下，布尔代数的理想完全对应于相关的布尔环的理想。他的下一个主要贡献是建立布尔代数与现在称为布尔空间（或石材空间）的某些拓扑空间之间的对应关系。后来，这种信件将被证明是构建异国布尔代数的有价值工具。石头的这些结果仍然是逻辑代数发展的范式。
灵感来自对有关卷中关系的一阶说明的简短处理。代数Logik的III，Löwenheim（1915）表明，如果可以在无限域中满足这种陈述，则可以在不可降低的域中满足。 1920年，Thoralf Skolem（1887–1963）通过引入Skolem正常形式来简化Löwenheim的证明，并在1928年Skolem用更简单的想法代替了对正常形式的使用，即使用现在称为Skolem函数的内容。他使用这些功能将一阶句子转换为通用句子，也就是说，以prenex形式的句子，所有量词均为通用（
∀
∀
）。
10。Skolem：消除量子和可决定性
Skolem受到Schröder的代数Logik的强烈影响，从他的博士学位论文开始。后来，他对在班级演算中寻求淘汰定理特别感兴趣。在他的1919年论文中，他特别是为格子建立了一些结果，他表明一个人可以决定普遍的号角句子的有效性（即带有矩阵的普遍句子，这是对被否定和未命名的原子的分离，最多有一个积极的原子）通过我们现在认识到的多项式时间算法的过程。该算法是基于从普遍号角句中得出的生产规则下找到有限部分晶格的至少固定点。尽管这种结果与晶格的统一单词问题相当，但与Skolem对Löwenheim定理的著名贡献相同，但直到1990年代初重新发现的机会。 （惠特曼（Whitman，1941）为晶格的方程式决策问题提供了不同的解决方案；它被广泛称为晶格中的问题的解决方案。）
Skolem（1920）为Schröder对班级演算提出的消除问题提供了优雅的解决方案，表明如果添加了至少具有“至少具有”的谓词
n
�
元素”，每个
n
=
1
,
2
,
……
�
=
1
,
2
,
……
，然后有一个简单的（但通常很长的）过程，可以将有关类的一阶公式转换为无量词公式。特别是这表明，阶级计算的一阶理论是可以决定的。 Mostowski（1952）使用了这种量词 - 淘汰结果来分析直接功率的一阶性能和单个结构的直接总和，然后由Feferman和Vaught（1959）（1959年）进行一般直接和直接的总和和直接的结构产物。 。
消除量词成为数学逻辑上证明可决定性的主要方法，并且证明可决定性被视为希尔伯特和阿克曼（Hilbert and Ackermann）（1928年）的数学逻辑的主要问题，这在随后的版本中被删除，因为教会的著名不确定性结果是和图灵。
