自动推理（七）

II，satallax和反模式的发现器nitpick。句法和语义嵌入的详细信息在其论文中给出，它包括通过映射，扩展和\ beta \ eta反应编码HOML公式作为HOL谓词。映射将homl types \ alpha，术语s _ {\ alpha}和逻辑运算符\ theta与相应的hol“凸起”类型\ lceil \ alpha \ rceil，type-arped-arped arped arped arpeiil s _ {\ alpha} \ rceil和type - 使逻辑运算符\ theta^{\ bullet}。如果\ mu和\ omicron分别是个体和布尔人的类型，则\ lceil \ mu \ rceil = \ mu = \ mu和\ lceil \ lceil \ omicron \ roceil \ rceil = \ sigma \ sigma \ sigma是\ iota \ rightarrow \ righarrow \ omicron with \ rightarrow \ omicron with \ rightarrow \ omicron with \ rightarrow \ omicron IOTA是可能的世界类型；至于功能类型，\ lceil \ beta \ rightarrow \ gamma \ rceil = \ lceil \ beta \ rceil \ rceil \ rightarrow \ lceil \ lceil \ gamma \ rceil。对于类型升高的术语，\ lceil s_ \ alpha \ rceil在s_ \ alpha的结构上定义为以下示例所示：

\ begin {align} \ lceil \存在_ {（\ mu \ rightarrow \ omicron）\ rightarrow \ omicron} x_ \ mu。 g _ {\ mu \ rightArrow \ omicron} x \ rceil＆= \ lceil \ cestists _ {（\ mu \ rightArrow \ omicron）\ rightArrow \ rightArrow \ omicron} \ rceil \ rceil \ lceil \ lceil \ lceil x _ \ mu。 g _ {\ mu \ rightarrow \ omicron} x \ rceil \\＆= \ lceil \ exists _ {（\ mu \ rightArrow \ rightarrow \ omicron）\ rightArrow \ rightArrow \ omicron} \ roceil} \ rceil \ rceil \ lceil \ lceil \ lceil x _ \ mu \ mu \ rceil。 \ lceil g _ {\ mu \ rightarrow \ omicron} \ rceil \ lceil x \ rceil \ rceil \\＆= \ exists^{\ bulest} _ {\ lceil（\ lceil（\ mu \ mu \ rightarrow \ rightarrow \ rightarrow \ omicron） \ lceil \ mu \ rceil}。 g _ {\ lceil \ mu \ rightarrow \ omicron \ rceil} x \\ = \ exists^{\ bulter} _ {（\ mu \ rightArrow \ sigma）\ rightArrow \ rightArrow \ rightArrow \ sigma} x_ \ mu。 g _ {\ mu \ rightarrow \ sigma} x \ end {align}

下面定义了类型升高的逻辑连接\ theta^{\ bullet}，其中r是HOL中的一个新常数符号与HOML的可访问性关系相关联：

\ begin {align} \ sim^{\ bullet} _ {\ sigma \ rightarrow \ rightarrow \ sigma}＆= \ lambda s_ \ sigma \ sigma \ lambda w_ \ iota \ iota \ iota \ sim（sw） sigma \ rightarrow \ sigma \ rightarrow \ sigma}＆= \ lambda s_ \ sigma \ sigma \ lambda t_ \ sigma \ lambda w_ \ iota（sw \ vee电视）\\ \ forall^{\ bullet} _ {（\ alpha \ rightarrow \ sigma）\ rightarrow \ sigma}＆= \ lambda s _ {\ alpha \ Alpha \ rightarrow \ rightArrow \ rightarrow \ sigma} \ lambda w_ \ lambda w_ \ ail ail ail ail ail for forall x____ \\ \ box^\ bullet _ {\ sigma \ rightarrow \ sigma}＆= \ lambda s_ \ sigma \ lambda w_ \ iota \ forall u_ \ iota。 \ sim（r _ {\ iota \ rightarrow \ iota \ rightArrow \ omicron} wu）\ vee su）\ end end {align}

可以以通常的方式定义其他连接剂。有效性表示为\ lambda-term，\ lambda s _ {\ iota \ rightArrow \ omicron} \ forall w_ \ iota sw，当应用于术语s _ {\ sigma}时，我们将作为[s _ {\ sigma}]。例如，在嵌入下，在homl中证明了上帝存在的可能性，\ diamond _ {\ omicron \ rightarrow \ omicrOr \ omicron} \ exists _ {（\ mu \ mu \ rightarrow \ omicron）\ rightarrow \ rightArrow \ rightArrow \ omicrOw \ omicron} x _ _ {x _ {\ mu {\ mu}。 g _ {\ mu \ rightarrow \ omicron} x，是在HOL中证明其有效性：[\ diamond^{\ bulter} _ {\ sigma \ sigma \ rightArrow \ rightarrow \ sigma} rightarrow \ sigma）\ rightarrow \ sigma} x _ {\ mu}。 g _ {\ mu \ rightarrow \ sigma} x] _ {\ mu \ rightArrow \ omicron}。为了证明，类型升高的HOL表达式[\ Diamond^{\ bullet} \ exists^{\ bullet} x _ {\ mu}。 g _ {\ mu \ rightarrow \ sigma} x]然后在所谓的THF0语法（Sutcliffe＆Benzmüller2010）中编码，然后再喂食上述平等规则证明：

THF（Corc，猜想，

v

@（mdia

@（mexists_ind

@^[X：MU]：

（g @ x）））））。

这里提供了Benzmüller＆Paleo 2014中的证明，包括公理和定义以及其四个主要结果的推导，即T1，C，T2，T3 - 都用类型的类型型高阶逻辑表示法编写由嵌入产生。证明步骤并未完全扩展 - 指出类型饲养的连接剂的存在 - 推论移动不会分解为细节较低。从伯特兰·罗素（Bertrand Russell）借用一句话（Urquhart，1994年），这是为了避免“一种恶心”的读者，完全详细的自动化证明会导致：

a1 [\ forall^{\bullet} \ varphi _ {\ mu \ rightarrow \ sigma}。 p _ {（\ mu \ rightarrow \ sigma）\ rightarrow \ sigma}（\ lambda x _ {\ mu}。\Bullet} p \ varphi]公理

a2 [\ forall^{\bullet} \ varphi _ {\ mu \ rightarrow \ sigma}。 （p _ {（\ mu \ rightarrow \ sigma）\ rightarrow \ sigma} \ varphi \ \ \ \ \ \ \ 楔^{ \bulter}\box^{\bulter}\forall^forall^forall^{\bulter}\supset^{\bullet}\psi x））\ supset^{\bullet}\psi] 公理

t1 [\ forall^{\bullet} \ varphi _ {\ mu \ rightarrow \ sigma}。 p _ {（\ mu \ rightarrow \ sigma）\ rightArrow \ sigma} \ varphi \ supset^{\ bulter} \ Diamond^{ \ bulter} \ extists^{\ bulterist^extist^{\ bulter} x _ _ _ _ _ _ {\ mu}。 \ varphi x] a1，a2（单位为k）

d1 g _ {\ mu \ rightarrow \ sigma} = \ lambda x _ {\ mu}。 p _ {（\ mu \ rightarrow \ sigma）\ rightarrow \ sigma} \ varphi \ superset^{\ bulter} \ varphi x

a3 [p _ {（\ mu \ rightarrow \ sigma）\ rightarrow \ sigma} g _ {\ mu \ rightarrow \ sigma}] 公理

c [\ Diamond^{\bullet} \内部^{\bullet} x _ {\ mu}。g _ {\ mu \ rightarrow \ sigma} x] t1，d1，a3（以k为单位）

a4 [\ forall^{\bullet} \ varphi _ {\ mu \ rightarrow \ sigma}。 p_{(\mu \rightarrow \sigma)\rightarrow\sigma} \varphi \supset^{\bullet} \Box^{\项目符号}p\varphi] 公理

D2 \ess_{(\mu\rightarrow \sigma)\rightarrow \mu \rightarrow \sigma} = \lambda \varphi_{\mu \rightarrow\sigma} 。 \lambda X_{\mu}。 \varphi X\ \wedge \forall^{\bullet}\psi_{\mu\rightarrow\sigma}。 (\psi X \supset^{\bullet} \Box^{\bullet}\forall^{\bullet}Y_{\mu}。(\varphi Y \supset^{\bullet}\psi Y)) 定义

T2 [\forall^{\bullet}X_{\mu} 。 g_{\mu \rightarrow\sigma} X \supset^{\bullet}\ess_{(\mu\rightarrow \sigma)\rightarrow \mu \rightarrow\sigma} gX] A1, D1, A4, D2 (以 K 为单位)

D3 \text{NE}_{\mu\rightarrow \sigma} = \lambda X_{\mu} .\forall^{\bullet}\varphi_{\mu \rightarrow\sigma}。 (\ess \varphi X \supset^{\bullet} \Box^{\bullet}\exists^{\bullet}Y_{\mu}. \varphi Y) 定义

A5 [p_{(\mu\rightarrow \sigma)\rightarrow\sigma}\text{NE}_{\mu\rightarrow\sigma}] 公理

T3 [\Box^{\bullet}\存在 X_{\mu} 。 g_{\mu \rightarrow\sigma} X] D1、C、T2、D3、A5（以 KB 为单位）

除了帮助完成证明之外，自动化定理证明器对于发现一些新颖的结果也非常有帮助。首先，LEO-II通过证明自我差异成为每个实体的本质属性，证明了哥德尔的一组原始假设是不一致的；达纳·斯科特（Dana Scott）对本质定义的重新表述——这涉及在定义中添加一个缺失的连词 \varphi X——被 Nitpick 证明是一致的。其次，LEO-II 和 Satallax 成功地仅使用逻辑系统 K 证明了 C、T1 和 T2，此外，Nitpick 在 K 中找到了 T3 的反模型，从而表明需要更多的逻辑能力来完成其余的证明第三，利用LEO-II和Satallax，证明逻辑系统KB（具有布劳威尔公理的系统K）足以建立上帝存在的必要性， \Box^{\bullet}\exists^{\bullet}X_{\mu} 。 g_{\mu \rightarrow\sigma} X，这是自动推理的双赢：逻辑经济的收益，以及有效驳回对哥德尔证明的主要批评（即他使用更强的逻辑）的更深层次的哲学结果系统S5。第四，作者还在知识库中证明：

(\forall^{\bullet}\varphi_{\mu\rightarrow\sigma} .\forall^{\bullet}X_{\mu} 。(g_{\mu \rightarrow \sigma} X \supset^{\bullet} ({\sim}^{\bullet}(p_{(\mu \rightarrow \sigma)\rightarrow\sigma} \varphi) \supset^{\bullet} {\sim}^{\bullet}(\varphi X)))

也：

\forall^{\bullet}X_{\mu} .\forall^{\bullet}Y_{\mu} 。 (g_{\mu \rightarrow \sigma} X \supset^{\bullet} (g_{\mu \rightarrow\sigma} Y \supset^{\bullet} X =^{\bullet} Y)),

也就是说，上帝是完美无缺的，一神论也成立。在这一点上，可以公平地说，任何这些结果都足以证明自动推理在精确哲学中的应用是正确的。现在，先坏消息后好消息：第五，公式 s_{\sigma} \supset^{\bullet} \Box^{\bullet}s_{\sigma} 也可以正式导出，这是不幸的，因为它意味着不存在偶然的真理，一切都是确定的，即不存在自由意志。然而，基于 Fitting 和 Anderson 的本体论论证变体的后续工作已经解决了这个问题（Fuenmayor & Benzmüller 2017，Fitting 2002，Anderson 1990）。

抽象对象理论（AOT）是抽象对象的形而上学理论（Zalta 1983）。抽象对象是科学理论预设的对象：数字、自然法则、属性、事态、可能性等。AOT 对定义为 O!x =_{df} \Diamond E!x 的普通对象和抽象对象进行了根本区别定义为 A!x =_{df}\lnot\Diamond E!x 的对象。 AOT 还提供两种独特的预测模式：示例（Fx，更一般的是 Fx_1 ...x_n）和编码（xF，“x 编码 F”，更一般的是 x_1 ...x_n F）。 AOT 向无恒等式的二阶 S5 量化模态逻辑添加编码，并用明确的描述 \iota x \phi、lambda 表达式 \lambda x_1 ...x_n \phi^* 进行扩展（其中 \phi^* 表示不对子公式进行编码），以及复杂术语的自由逻辑（Zalta 1983，Zalta 1988）。 AOT 的关键公理是对抽象对象的理解，\存在 x(A!x \amp \forall F(xF \equiv \phi))，\phi 中没有自由 x，以及经典的 \lambda 转换，[\lambda y_1 ...y_n \phi^*]x_1 ...x_n \equiv \phi^* (x_1 /y_1,..., x_n /y_n) 中没有描述\phi^*。这些意味着对关系的理解， \exists F^n \Box \forall x_1 ...x_n (F^n x_1 ...x_n \equiv \phi^*) 而 \phi^* 中没有描述。其他原则包括 \begin{align} O!x &\rightarrow \Box \lnot\exists FxF\\ \Diamond xF &\rightarrow \Box xF\\ O!x \amp O!y & \rightarrow(x = y \ rightarrow \Box \forall F(Fx \equiv Fy))\\ A!x \amp A!y & \rightarrow(x = y \rightarrow \Box \forall F(xF \equiv) yF))\end{align} 和 \iota x(A!x \amp \forall F(xF \equiv \phi)) 始终是明确定义的。为了了解 AOT 的表达能力和应用，以下是 AOT 能够将形而上实体定义为抽象对象并得出有趣结果的一些示例（Zalta 2018）：