自动推理（六）

实际上，发现了几个2轴基础，这些基础最短：

(2)

CPCQQ \ QUAD CCPCQRCCPQCCSCPR

发现C4单个公理的进一步回合得到了奖励。公理长21个符号，也证明它是最短的公理：

(3)

ccpccqcrrcpsccstcuctct

为了证明（2）和（3）中的每一个都是（1）的必要且足够的，使用自动推理工具产生了一个证明圈：（1）\ rightarrow（3）\ Rightarrow（2）\ Rightarrow（1 （对于C5，其公理化最初是在Lemmon，A。Meredith，D。Meredith，Prior＆Thomas（1957）的论文中发表的。和1轴的C5基础，包括以下3轴的基础：

(4)

CQCPP \ QUAD CCPQCCQQRCPR \ QUAD CCCCPQRCPQCPQ

该出版物还包括C5最短的2轴基础（实际上有两个包含20个符号），但是C5的最短单公理后来被（Meredith and of 1964）发现，并具有21个符号：

(5)

CCCCCCPQRCSTCCTQCSCSQ

再次采用自动推理策略，恩斯特，菲尔森，哈里斯和沃斯2001）发现了几个新基础，包括长度18和六个1轴基础的以下2轴基础，与梅雷迪思的长度匹配21个（仅在下面给出） ：

(6)

CPP \ Quad CCPQCCCCQRSRCPR

(7)

ccccpqrccuqcccqqtcscpt

为了证明（6）和（7）中的每一个都需要（4），而定理供属师也产生了一个证明圈：（6）\ rightarrow（4）\ rightarrow（7）\ rightarrow（6 ）。

组合逻辑

Smullyan 1985和Glickfeld＆Overbeek 1986中介绍了对组合逻辑的迷人尝试，在那里我们了解了会说话的鸟类居住的某些迷人的森林。考虑到任何鸟类A和B，如果对Bird A的名字说出了B的名称，则A将以森林中的某些鸟的名字响应AB，AB中的某个鸟的名字，而从A中对B的反应总是相同的。以下是有关迷人鸟的一些定义：

\ Mathbf {B1}

一只模仿M对任何鸟的模仿，从某种意义上说，M对鸟X的反应与X对自身的反应Mx = XX相同。

\ Mathbf {B2}

如果A（Bx）= CX，则鸟C组成鸟类A和B。换句话说，C对X的响应与A对B对X的响应的反应相同。

\ Mathbf {B3}

如果A对B的反应是B，则一只鸟A喜欢鸟B；即，AB =B。

这是关于这个迷人森林的两个事实：

\ Mathbf {F1}

对于森林中的任何鸟类A和B，都有一个鸟C构成它们。

\ Mathbf {F2}

森林里有一只无知鸟。

有传言说，森林中的每只鸟都喜欢至少一只鸟，而且至少有一只鸟不喜欢任何鸟。当然，读者现在只使用F1和F2来解决这些谣言，以及给定的定义（B1） - （B3）。 Glickfeld＆Overbeek 1986仅在几秒钟内使用优势，解调和集合使用自动推理系统。对于更具挑战性的问题，请考虑其他定义：

\ Mathbf {B4}

如果鸟喜欢自己，则是鸟类以自身为中心的：ee = E。

\ Mathbf {B5}

如果任何鸟类x和y，则鸟是百灵鸟：（lx）y = x（yy）。

Smullyan向我们挑战，以证明有关百灵鸟最令人惊讶的事情：假设我们没有得到任何其他信息，除了森林包含百灵鸟。然后，证明森林中至少一只鸟必须以自我为中心！在下面，我们给出了自动推理系统发现的证据中的显着步骤，其中s（x，y）“代表XY”，其中（2）和（3）分别是百灵鸟和（3）的定义定理的否认；右边的数字是paramodulation的应用：

1（x1 = x1）

2（s（s（l，x1），x2）= s（x1，s（x2，x2）））

3-（s（x1，x1）= x1）

6（s（x1，s（s（l，s（x2，x2））），x2））= s（s（l，x1），s（x2，x2）））2 2 2

8（s（x1，s（x2，x2），s（x2，x2）））= s（s（l，s（l，x1）），x2））2 2 2

9（s（s（s（l，l），x1），x2），x2）= s（s（x1，x1），s（x2，x2）））2 2 2

18 - （s（s（l，s（s（l，s（l，l）），x1））），x1）= s（s（l，s（x1，x1）），x1））6 3 6 6 9 8 8

19 [] 18 1

在应用统一的情况下，对（18）的左侧和右侧进行了仔细检查，发现发现了一只10-l的鸟，即只用百灵鸟表达的10个符号鸟，这是以自我为中心的强有力的候选者。这一发现令人兴奋，因为Smullyan已知的最短的L-Bird的长度为12。随后的自动推理系统的运行产生了这一事实的证明以及另一个新的重要鸟：一种可能的Egentric 8-L Bird！最终，该系统的另外几次运行最终产生了22行证明（带有多达50个符号的术语，不包括逗号和括号），即（（ll）（l（lll）））（（l（ll）））（l（l（ll））确实是以自我为中心的。当然，要问接下来的自然问题是，是否还有其他8-L中心鸟以及是否有较短的鸟类。读者可能想用纸和铅笔尝试一下，但是鉴于有429只这样的鸟，可以更明智地尝试（或结合）与自动推理程序进行尝试。这两种方法均在Glickfeld＆Overbeek 1986中进行了探索。对于更正式但更鲜艳的颜色，介绍了组合性逻辑和lambda conversion，读者将读者提到Hindley＆Seldin 1986。

等价演算

经典等效演算中的公式是使用句子变量和两个位置函数e编写的。微积分有两个推理规则，分离（模式ponens）和替代规则。可以将规则合并到凝结分离的单个规则中：从e（s，t）和r中获取t \ theta，其中s \ theta = r \ theta用mgu \ theta。可以用公式将演算合理化：

\ begin {align} \ tag {e1}＆e（x，x）＆\ text {（反射率）} \\ \ tag {e2}＆e（e（x，x，y），e（y，x））＆ \ text {（symmetry）} \ \ \ tag {e3}＆e（e（x，y），e（e（y，z），e（x，z））））＆\ text {（transitivitive）} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \结束{align}

我们可以以反射性分配，因为它是从其他两个公式中衍生的。这将公理的数量降低到两个，一个自然的问题是，等效的演算是否有单个公理。在1933年，łukasiewicz发现了三个长度的三个公式，每个公式可以充当微积分的单个公理 - 这里是其中一个： ）） - 他还表明，没有较短的单公理。随着时间的流逝，发现了其他长度11的单个公理，并且列表随着梅雷迪思，卡尔曼和彼得森的加法而不断增长，总共有14个公式，其中13个公式是单个公理和一个公式，尚未确定的状态：公式xcb = e（x，e（e（e（x，y），e（z，y）），z））。 （实际上，该清单增长到18个公式，但Wos，Winker，Veroff，Smith＆Henschen 1983将其降低到14。）抵制对各种研究人员的深入研究，这是多年来的开放性问题。是等效演算的单个公理（Peterson 1977）。在肯定中回答这个问题的一种方法是表明，仅XCB至少可以衍生出13个已知的单公理中的至少一个。另一种方法是源自XCB 3轴集合（E1） - （E3）。尽管WOS，Ulrich＆Fitelson 2002在前者拍摄，但他们的攻击线集中在后者上，最具挑战性的任务是证明对称性的。在强大的自动推理计划Otter的协助下，他们对公开问题进行了一致，持久和非常积极的攻击。 （他们的文章有时读起来像是从前线的军事简报！）为了简单的问题，可以自动通过推理计划找到证据；像手头的人一样，更深入，更具挑战性的人需要用户的指导。推理工具的无情应用涉及在引理设置作为目标和部署策略武器库的许多指导避免，水平饱和等。经过大量的努力和CPU时间，开放的问题最终屈服于人类和机器的综合努力，并发现了61步的对称性证明，然后在10次凝结脱离后进行了10次施用后的传递性。随后使用解调阻塞和所谓的填充策略进行了定理供奉献者的后续运行，提供了较短的证明。这是其25步证明的最后一行，在这种情况下，这首先证明了传递性，其次是对称性：

123 [hyper，51,106,122] p（e（e（e（e（x，y），e（z，y））），z），x））。

124 [hyper，51,53,123] p（e（e（e）

z），x），u），e（v，u）），v））。

125 [hyper，51,124,123] p（e（e（e（x，y），x），y））。

127 [hyper，51,124,108] p（e（e（e（e（x，e））

，z）），e（e（e（e（e（u，v），e（w，v）），w），u），u），

v6）），v7），e（v6，v7）））。

128 [hyper，51,127,123] p（e（e（x，y），e（e（y，z），e（x，z））））。

130 [hyper，51,128,125] p（e（e（x，y），e（e（e（z，x），z），z），y）））。

131 [hyper，51,128,130]

e（e（y，z），u）））。

132 [hyper，51,131,123] p（e（e（x，y），e（y，x）））。

借助有效的方法和一种策略，其中包括以至关重要的方式帮助自动推理计划的协助，寻找与等效演算的最短单公理的搜索结束了。

计算形而上学

Fitelson＆Zalta 2007，Oppenheimer＆Zalta 2011和Alama，Oppenheimer和Zalta 2015在计算形而上学中描述了自动推理的几种应用。通过使用Prover9，Mace4，E-Prover System和Paradox之类的程序，在自动推理环境中代表形式的形而上学主张作为公理和前提，研究形而上学论据的逻辑状态。在适当的公理和前提形式化后，模型查找器程序MACE4用于帮助验证其一致性。然后，使用prover9，为柏拉图形式理论的许多定理自动生成证据，二十五个可能的世界理论理论的基本定理，莱布尼兹（Leibniz圣安塞尔姆本体论论点的自动结构。在后一种申请中，在Oppenheimer＆Zalta 2011中被理解为圣安塞尔姆（Saint Anselm），因为他发现了一种从仅仅是从他的单纯的可能性中推断出上帝的真实性的方法来推断上帝的存在的方法。这允许形式化不含模态操作员，涉及描述的基本逻辑，三个非逻辑前提和对上帝的定义。以下是正式化中的两个关键定义，被输入到prover9中，有助于表达上帝的概念：

nonto_greater的定义：

所有x（object（x） - >（ex1（nonn_greater，x）<->

（Ex1（可以想象，X）＆

- （存在y（object（y）＆ex2（大_than，y，x）＆

ex1（可以想象，y）））））。

上帝的定义：

is_the（g，nons_greater）。

代表prover9中的部分挑战的部分挑战是公理形而上学中的这些和其他陈述是为了避免谚语的某些语言局限性。例如，prover9没有明确的描述，因此必须根据Prover9现有的一阶逻辑来表达这种类型的语句以及二阶概念。但是回报值得投资，因为Prover9不仅提供了EX1（E，G）的证明，而且有一个上帝，而且还具有额外的奖励。对输出的仔细检查提供了一个自动定理供体“超越”其用户的另一个示例，表明某些逻辑机械实际上是多余的：只能使用描述理论的两个逻辑定理来构建证明（证据）（在他们的文章中称为“定理2”和“定理3”），非逻辑前提之一（称为“前提2”），以及对上帝的定义。我们不禁在这里包括Prover9的较短证明，以更优雅的标准逻辑表示（摘自Oppenheimer＆Zalta 2011）：

1。{\ sim} e！\ iota x \ phi_1假设，用于还原

2。\存在y（gy \ iota x \ phi_1 \ amp cy），来自（1），前提2和MP

3。gh \ iota x \ phi_1 \ amp ch from（2），\ aSTESSE，'H'任意

4。gh \ iota x \ phi_1来自（3），by＆e

5。\存在y（y = \ iota x \ phi_1）（4），根据描述理论，定理3

6。c \ iota x \ phi_1 \ amp {\ sim} \存在y（gy \ iota x \ phi_1 \ amp cy）（5），根据描述理论，定理2

7。{\ sim} \存在（6）的y（gy \ iota x \ phi_1 \ amp cy），by＆e

8。

9。E！g来自（8），根据“ G”的定义

在与圣安塞尔姆（St. Anselm）的传统相同的传统中，戈德尔（Gödel）也提供了上帝存在的本体论证据（Gödel1970，Scott 1972）。两者之间的一个重要区别是戈德尔使用模态算子来表示形而上学的可能性和必要性，当然，他使用符号逻辑来增加了推理精度。戈德尔在证据中首先使用两个公理来构建“积极特性”的概念，他介绍了一个定义，指出“像上帝一样拥有所有积极特性”。这是足够的逻辑机制，可以证明是神的存在的可能性，\ diamond \存在xg（x）；另外三个公理和另外两个定义使戈德尔能够进一步证明他不仅存在上帝存在，\ x g（x）存在，但这是必需的，\ box \存在于xg（x）。 Gödel的证明是使用模态算子的高阶模态逻辑（HOML）的形式主义和对属性的量化。戈德尔从未出版过证明，但他与达娜·斯科特（Dana Scott）分享了下面的版本，该版本从（Benzmüller＆Paleo 2014）及其英语注释及其英语注释来帮助读者以其预期的解释：

公理A1

\ forall \ varphi [p（{\ sim} \ varphi）\ equiv {\ sim} p（\ varphi）]

财产或其否定是积极的，但两者兼而有之）

公理A2

\ forall \ varphi \ forall \ psi [（p（\ varphi）\ wedge \ box \ forall x [\ varphi（x）\ rightarrow \ psi（x）]）\ supset p（\ psi）

积极财产必然暗示的财产是积极的

定理T1

\ forall \ varphi [p（\ varphi）\ supset \ diamond \存在x \ varphi（x）]

积极特性可能被示例

定义D1

g（x）\ equiv \ forall \ varphi [p（\ varphi）\ supset \ varphi（x）]

像神一样拥有所有积极的特性

公理A3

p（g）

像上帝一样的财产是积极的

推论c

\ Diamond \存在XG（X）

可能，上帝存在

公理A4

\ forall \ varphi [p（\ varphi）\ supset \ box p（\ varphi）]

积极特性一定是积极的

定义D2

\ varphi \ ess x \ equiv \ varphi（x）\ wedge \ forall \ psi（\ psi（x）\ supset \ box \ forall y（\ varphi（y）\ supset \ psi（y）））

个人的本质是由其拥有的财产，

必然暗示其任何属性

定理T2

\ forall x [g（x）\ supset g \ ess x]

像上帝一样是任何像上帝的本质

定义D3

ne（x）\ equiv \ forall \ varphi [\ varphi \ ess x \ supset \ box \ box \ evans y \ varphi（y）]

一个人的必要存在是必要的

典范的所有本质

公理A5

P（NE）

必要的存在是积极的财产

定理T3

\ box \存在xg（x）

一定是上帝存在

最近，Benzmüller＆Paleo 2014在自动定理掠夺者的帮助下，已将证据以空前的细节和精度分析。这些作者面临的一个重大挑战是缺乏可以执行工作的基于HOML的定理供者，但通过将逻辑嵌入到现有定理牺牲品（如Leo-Leo-）已经提供的经典高阶逻辑（HOL）中来避免了这种情况。