逻辑与概率（三） (6-5)

还有另一种类型的句子，例如Halpern（1990）中讨论的以下句子：

Tweety Flies的概率大于0.9。

这句话考虑了Tweety（特定鸟）可以飞行的概率。这两种类型的句子通过两种不同类型的语义来解决，其中前者涉及域上的概率，而后者涉及一组与域分开的可能世界的概率。

5.1一阶概率逻辑的示例

在本小节中，我们将仔细研究特定的一阶概率逻辑，该语言尽可能简单，以专注于概率量词。该语言非常类似于经典的一阶逻辑的语言，但是该语言不是熟悉的通用和存在的量词，而是包含概率量词。

该语言建立在一组单个变量上（用x，y，z，x1，x2，…），一组函数符号（用f，g，h，f1，…表示），其中arity关联了使用每个符号（零函数符号也称为单个常数），以及一组谓词字母（由r，p1，…）与每个符号相关联。该语言包含两种句法对象，即术语和公式。术语的归纳定义如下：

每个单独的变量x都是一个术语。

每个函数符号f，然后是一个术语（T1，…，TN）的n核心是一个术语。

鉴于该术语的定义，公式被归纳定义如下：

每个谓词字母r的n，然后是术语（T1，…，tn）的n核心是一个公式。

如果ϕ是一个公式，则€也是。

如果ϕ和ψ是公式，则是（ϕ∧ψ）。

如果ϕ是公式，而q是间隔[0,1]中的有理数，则px（ϕ）≥q。

形式的PX（ϕ）≥Q的公式应为：“选择X的概率使得x满足至少为q”。公式px（ϕ）≤q是px（€ϕ）≥1 -q和px（ϕ）= q的缩写是PX（ϕ）≥Q∧PX（ϕ）≤Q的缩写。 ϕ中X的每个自由出现都受操作员的约束。

该语言在非常简单的一阶模型上解释，该模型是M =（d，i，p）的三元，其中话语d是一组有限的非对象集，i的解释i关联了d上的n-ary函数每个N- ARY函数符号都在语言中出现，并且D与每个N- ARY谓词字母的n- ary关系。 p是一个概率函数，将概率p（d）分配给d中的每个元素d，使得∑d∈Dp（d）= 1。

为了解释包含自由变量的公式，也需要一个分配g，将D分配给每个变量。给定m =（d，i，p）的解释[[t] m，g，g的g，g）和分配g的归纳定义如下：

[[x] m，g = g（x）

[[F（T1，…，TN）]] M，G = I（f）（[[T1]]，…，[[TN]]）

真理被定义为具有分配和公式的模型之间的关系⊨：

m，g⊨r（t1，…，tn）iff（[[t1]]，…，[[tn]]）∈I（r）

m，g⊨− ϕ iff m，g⊭ϕ

m，g⊨（ϕ∧ψ）iff m，g⊨ϕ和m，g⊨ψ

m，g⊨px（ϕ）≥qiff∑d：m，g [x↦d]⊨ϕp（d）≥q

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