逻辑与概率（二） (6-6)

如果没有紧凑性，逻辑可能会弱完成（每个有效公式在公理系统中都可以证明），但并非完全完整（对于公式的每个集合γ，γ的每种逻辑后果都可以从公理系统中从γ中证明）。在Fagin等人中。 （1990年），给出了涉及线性组合的证明系统，逻辑被证明既声音又弱完成。在Ognjanović和Rašković（1999）中，为命题概率逻辑提供了一个声音和强烈的证明系统，而无需线性组合。在Heifetz and Mongin（2001）中，一种用于逻辑变化的证明系统，没有线性组合，它使用类型的系统允许迭代概率公式的迭代（我们将在第4节中看到如何使用可能的世界来实现这种迭代））给出了，逻辑被证明是声音且弱完成的。他们还观察到，没有针对这种逻辑的限制性证明系统可以是强烈的。 Ognjanović等。 （2008年）提出了一些具有无限派生规则（需要数量无限数量的前提）的定性概率逻辑，并证明了强烈的完整性。 Goldblatt（2010）介绍了相关膜逻辑的强烈完整的证明系统。 Perović等。 （2008年）提供了使用多项式重量公式的命题概率逻辑的证明系统和强大的完整性证明。最后，获得强大完整性的另一种策略涉及将概率函数的范围限制为固定的有限数字集。例如，Ognjanović等人。 （2008年）讨论了概率逻辑，其中概率函数的范围不是完整的实际单位间隔[0,1]，而是“离散”版本{0，

1

n

,

2

n

，…，，

n -1

n

，1}（对于某些固定的数字n∈N）。参见Ognjanović等人的第7章。 （2016）概述完整结果。

4。模态概率逻辑

许多概率逻辑是通过单个但任意的概率空间来解释的。模态概率逻辑利用了许多概率空间，每个空间都与可能的世界或状态相关联。这可以被视为对模态逻辑的关系语义的少量调整：而不是像在模态逻辑，模态概率逻辑中所做的那样，与每个可能的世界一组可访问的世界联系在一起，或一组概率分布。模态概率逻辑的语言允许将概率嵌入概率中，也就是说，例如（可能是不同）概率为1/2的概率的原因。通常给出了（1）随机解释的这种模态设置，关于下一个系统可能会过渡到下一个状态的不同概率（Larsen和Skou 1991），以及（2）主观解释，涉及不同概率，这些概率不同，这些概率是不同的概率可能有局势或彼此的概率（Fagin and Halpern 1988）。两种解释都可以使用完全相同的正式框架。

基本的模态概率逻辑增加了p（ϕ）≥q的命题逻辑公式，其中q通常是一个有理数，而ϕ是语言的任何公式，可能是概率公式。这种公式的读数是至少是q的概率。对公式的一般阅读并不能反映具有相同公式的模态概率逻辑和其他概率逻辑之间的任何区别。区别在于能够以概率术语和语义的参数嵌入概率的能力。以下小节概述了模态概率逻辑的建模方式的变化。在一种情况下，语言会稍微更改（第4.2节），在其他情况下，逻辑会扩展以解决定性和定量不确定性之间的相互作用（第4.4节和第4.5节）或动态（第4.6节）。

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