数学哲学（三） (5-3)

那么结构是实在的吗？有两类不同的结构主义：共相先在(ante rem)结构主义和取消(eliminative)结构主义。共相先在结构主义认为，结构的存在独立于它在现实世界中的例示，作为类比，柏拉图认为红性(redness)先于世界上所有红色的对象，即便所有红色的对象(红性的例示)都从世界上消失了，红性也依然存在。所以共相先在结构主义对于数学对象是柏拉图主义式的，一个典型的单称词项(singular term)，比如自然数“2”就是一个真正的单称词项，它指称自然数结构中的某个特定位置。取消结构主义则认为，结构的存在必然总是联系着例示该结构的系统，从这种意义上，结构并不独立存在，它对于数学对象是唯名论式的。单称词项是一些约束变量，例如2+3=5应该被理解为在任何自然数结构中处于第3个位置的任意对象(2)与第四个位置的对象(3)在结构中的加法(+)得到的是第六个对象(5)。我们不能问，在这个结构中的第3个位置的对象是什么，它并不预设这个对象是什么，甚至于说它并不预设这个对象存在。也就是说，它是一种没有结构的结构主义(structuralism without structures)。

如果我们假定物理世界中的物体是有限的，那么我们将很难看到包含无穷基数的数学结构是如何被例示的，一种选择是共相先在结构主义，无穷基数在某种意义上是独立于它的例示而存在的。对于取消结构主义，一种方法是假定有足够多的抽象对象，包含这些抽象对象的抽象系统例示了相应的数学结构，另一种方法则是引入模态逻辑，它被称为模态结构主义(modal structuralism)。所有这些策略的具体含义及遇到的技术上的困难，这里不讨论。

对于数学的认识论方面，共相先在结构主义的问题是，我们是如何认识结构的，而对于假定抽象对象的取消结构主义，问题是我们如何认识例示了无穷结构的抽象系统，对于模态结构主义，问题是我们如何知道哪个系统是可能的以及对这样的系统是如何认识的。对于这样的认识论问题，结构主义的策略并非是单一，而是一系列的。例如，首先在生活中我们会遇到各式现实中的系统，借由模式识别的心理机制我们可以获得关于小的，有穷结构的知识，通过反思这样的序列我们可以获得自然数结构的知识，借由比例知识还可以进一步得到有理数结构等等。

简单总结，结构主义认为数学是关于结构的学科，数学对象的存在必须依赖于包含它的结构，现实世界中的系统是这些结构的例示。所有结构主义者都同意数学的真值实在论，但在本体论问题上则出现了分歧，一些结构主义者是本体论柏拉图主义者，另一些则是唯名论者。

3.5 自然主义(naturalism (in the philosophy of mathematics))

如果只用一个词概括/描述二十世纪下半页到现在的分析哲学界的发展，“自然主义(naturalism)”无疑是最适合的一个，无论哲学家们对自然主义的变化是欢迎、怀疑或恐惧，都不得不承认自然主义深刻地改变了(分析)哲学的地貌(landscape)。自然主义作用于多个不同的哲学领域，而即便是在数学哲学中自然主义也包括三个相关但不相同的维度：本体论、认识论和方法论，限于篇幅在本文中并不会详细区分它们，而是把它们放在一起考虑。

让我们直接从Quine和Putnam的一个著名论证：不可或缺性论证(indispensability arguments)开始，先要着重强调，并非只有数学的自然主义者才支持这个论证，反过来也并非所有数学的自然主义者都支持这个论证。

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