数学哲学（三） (5-2)

在布劳威尔之后，他的学生Heyting继承了直觉主义的主要思想，并发展了一整套直觉主义的形式化系统，在某种意义上这和布劳威尔是不合的，因为在布劳威尔看来形式化本身就已经丢掉了数学的本质，不过Heyting的这些工作使得我们可以从数学，而不仅仅是哲学角度考察直觉主义(的数学主张)。直觉主义对于经典数学不仅仅是限制，确切说它们是不相容的。在今天，关于直觉主义逻辑的相关研究在数理逻辑方面已经非常丰富了。我们也许可以说，尽管直觉主义并没有多影响到大多数传统的数学领域，但在数理逻辑方面已经受到了很多重视。

在今天的哲学界也有一些直觉主义者，例如Michael Dummett。但要注意，说Dummett是一个直觉主义者是指他对直觉主义逻辑的支持，就哲学上的考虑Dummett和布劳威尔以及Heyting是截然不同的。Dummett从一开始关注的焦点就是布劳威尔认为不完美的语言，他的讨论非常技术化也非常哲学，是从语义学和语用学的一些考虑开始的，因为我个人完全没搞懂，所以就不在这里妄言了。

简单总结一下，直觉主义的核心在于对排中律的拒绝。传统的直觉主义者是观念论和真值反实在论者，他们认为数学是一种精神活动，一种进行中的构造活动，而语言和逻辑都是非本质性的。现代的直觉主义者，或说Dummett未必会接受传统直觉主义的哲学上的考虑，但他也同意对排中律的拒斥，或者说排中律的使用是不合法的。尽管经典数学在物理上可能取得了巨大成功，但对于直觉主义而言这些应用是无关紧要的。

3.4 结构主义(Structuralism)

柏拉图主义者也许会认为，每一个自然数都实在，而且独立于另一个自然数，就如一个苹果的存在独立于另一个苹果。结构主义者拒绝这一点，他们认为数学是关于抽象的数学结构的学科。例如数论的研究对象是一个抽象结构，这个结构具有以下形式的无穷集合共有的模式(pattern)：一个唯一的初始元素(0)，后继关系和归纳公理(Peano公理)。数字2是这个结构的第三个元素(从0开始)，数字5是第六个。它们存在于这个结构中，没有一个自然数独立于另一个自然数，它们都依赖这个结构。当然在本体论上依赖比不意味着在认识论上也依赖，我们可以认识2而不认识5，类似于我们可以了解一个苹果而不了解它的微观结构一样。数学研究的对象不是单独的数学对象，而是某个结构，这些对象则占据了这个结构中的特定位置。

一个重要的概念是系统(system)，它是对象的集合和对象的关系，一个结构是一个系统的抽象，忽略掉无关因素，例如一场篮球比赛场上球员和球场(也许还有教练)构成了一个系统，结构是对这个系统的抽象，比如当我们讨论篮球战术时，我们不必关心这些球员球衣的号码或头发的颜色，这些无关因素就被剔除，比如下图就是我们需要的结构，它包括各球员的站位，还有这些球员在球场上的分工(图中数字即是这样的标记)，但它不包括这些球员的名字，头发的长度等等。在这样的例子中我们也可以看到，控球后卫不是单独存在的，中锋也是，它们共同存在于篮球队这个结构和系统中。

对于数学的可用性，结构主义可以如此回答：现实世界中存在着各式各样的系统，这些系统包括特定的数学结构的例示(exemplification)，例如一个物理空间中(也许是)是一个黎曼几何的例示，物理空间中诸元素的关系也就符合于黎曼几何结构中的关系。但着重强调，不要把物理空间中的点和数学几何中的点对应起来等等，对于结构主义，不是单独的元素相对应，对应的是整个结构和结构中各位置的关系。

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