数学哲学（三） (5-1)

3.3 直觉主义(Intuitionism)

三大主义中最“恶名昭著”的莫过于直觉主义了，因为直觉主义对排中律和非构造型存在证明的拒斥。不过我猜直觉主义的某些观点也许会为很多人所赞同或至少找不出什么问题。

在传统的直觉主义者看来，数学对象的存在是依赖于我们的心灵的，故而他们是关于数学对象的观念论者(我们刚刚提到的逻辑主义大多是实在论，而形式主义则是唯名论，这个关键的分歧一再出现)。更准确说，数学对象是我们心灵的构造。如果说逻辑主义和形式主义都或多或少受到了康德的影响(迫于篇幅，本篇中并没有提到形式主义和康德是怎么联系的)，那么直觉主义的宗师布劳威尔才算是一个真正的康德主义者，他和康德一样把数学诉诸于我们的直观，由于非欧几何和射影几何的出现使得康德的空间直观受到了很大冲击，布劳威尔选择了我们的(康德式)时间直观。

(直觉主义)把生命的诸时刻分离为质地不同的诸部分思考，只是在仍然被时间分割的情况下才能重新统一起来，它是人类智慧的基础现象，通过抽离它的情感内容得到数学思维的基础现象，即赤裸的two-oneness(一个自造词，不知道怎么翻译)的直觉。这种two-oneness的直觉，即这种数学的基本直觉不仅创造了1和2，甚至创造了所有有穷序数，因为two-one中一个元素可以被考虑为一个新的two-one，这一过程可以无限重复。(Brouwer ＜Intuitionisme en formalisme＞ 1912)

我们无需关注布劳威尔在哲学上的具体观点，简单来说，布劳威尔是一个再典型不过的观念论者、真值反实在论者。他和康德一样认为数学是先天综合的。更准确一点说，数学的本质是理想化的精神构造。这里的理想化是指，对于关于数学的活动而言，纸和笔都只是辅助工具而不是本质性的，只有关于数学的心灵活动，一种-主动的-基于时间直观的-精神-活动才是数学的本质。例如为了证明有无穷多个质数，直觉主义认为我们需要做的是提供一套可行的程序，能够构造出无穷多个质数(当然未必是全部质数)，说一个方程在复数域内有根意味着我们能够提供关于这个根的构造。说一个数学对象存在，即是说对其构造的可能性。在这之后，可以看到布劳威尔是反对排中律的。在布劳威尔看来，排中律必须依赖于数学的本体实在论立场，而这是他不接受的。那些认为数学对象存在于独立的数学王国的数学家当然相信例如或者存在或不存在自然数n满足某个命题Pn，但在布劳威尔看来却并非如此，说不存在n意味着假设n存在推出矛盾，但说存在n却是指提供一个对n的构造方案。这二者不是一回事。布劳威尔也不承认实无穷，准确一点说，我们不能像大多数数学家那样把例如实数视作一个完成了的集合，它是一个在不断构造中的集合(序列)。同样的，布劳威尔坚决反对非直谓定义的使用。

更进一步，在布劳威尔看来，数学的本质存在于心灵和精神之中，而逻辑主义和形式主义关注的逻辑和语言对于数学而言都是非本质性的，它们不过是数学用于交流的附属物，逻辑只是通过语言交流数学规则的一种编码而已，对逻辑和语言的关注对于数学而言是流于表面，没有抓到数学的要点的。逻辑和语言可说仅仅是精神构造的交流不完美的媒介，而数学是关于后者的。

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