数学

(1) ZFC对于ZF在Π¹₄ 语句上保守：任何 Π¹₄ 语句如果能用ZFC证明，ZF就也能证明

(2) ZFC+GCH对ZF+DC在Π²₁ 语句上保守：任何 Π²₁ 语句如能用ZF+GCH证明，那么ZF+DC就能证明

(1)的证明：假设ZFC⊢∀xφ(x) ，其中 φ(x) 复杂度为 Σ¹₃ . 现在从ZF中论证：对于任意 α∈ℝ，L[α]╞ φ(α) ，这是因为 L[α] 满足ZFC. 而根据Shoenfield绝对性定理， L[α]╞ φ(α) 蕴涵 φ(α) ，而由于 α 是任意选取的，所以 ∀xφ(x) 得证。

(2)的证明：假设ZF+DC不能证明∀X⊆ℝφ(A)，其中 φ 是二阶算术语句，那么就存在一个模型 M╞ ZF＋DC＋∃X⊆ℝφ(A) 。对它的 ω₁ 加入一个Cohen subset G ，这会使得 M[G]╞ CH。在这个扩张中取 L(R，A，G) ，注意到这个模型跟M中有着一样的实数，所以我们就得到一个 ZFC＋GCH＋∃X⊆ℝφ(A) 的模型，这也就说明了ZFC+GCH也不能证明 ∀X⊆ℝφ(A) 。

Remarks：

• 根据对证明的观察，可得知定理(1)中的ZFC可以被加强为ZFC+∃α∈ℝ(V＝L[α]) ，而由于广义连续统假设GCH是∃α∈ℝ(V＝L[α])的推论，所以也能得知ZFC+GCH对于ZF在 Π¹₄ 语句上保守。定理(2)说得则是一个稍微强的事实，那就是ZFC+GCH对ZF+DC在 Π²₁ 的语句上保守（所以这也包括了所有二阶算术语句）

• 同时我们知道 ∃α∈ℝ(ℝ＝ℝ∩L[α]) 复杂度为 Σ¹₄ ，它是ZFC+∃α∈ℝ(V＝L[α])的定理但不是ZF的定理。

• 连续统假设 2ω＝ω₁ 等价于三阶算术中的 Σ²₁ 语句“存在一个实数上的关系，使得实数在这个关系下被排为良序，其中每一个真前段都可数”。定理(2)就相当于宣告了连续统假设不能等价于任何 Π²₁ 语句。

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