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Covering space - Wikipedia

LetX be a topological space. A covering space of X is a topological space C together with a continuous surjective map p：C → X such that for every x∈X， there exists an open neighborhood of x such that p⁻¹(U) is a union of disjoint open sets in C，each of which is mapped homeomorphically onto U by p.

简单的说每个点都有一个邻域，它的原像是若干个（一般至多可数）该邻域的复制（微分同胚的开集的无交并）。局部上看，覆叠空间无非就是原空间复制若干份。因此，对于局部的、几何的性质，覆叠空间与原空间没有区别，但对于整体的、拓扑的性质，覆叠空间与原空间截然不同。

关于覆叠空间，有路径提升性质和同伦提升性质等，严格的表述看专业书籍，比如 Allen Hatcher 的书就好。这里举一个例子：有一大类拓扑学的定义，如圈绕数、复幅角的主值等等，都可以归结到圆（指圆周）的映射度的概念。

一个圆到圆的连续映射，可以看作圆上的一个封闭路径。映射度指的是沿着路径走完回到出发点后，绕“中心”转了几圈。考虑直线（实数轴）到圆的复叠映射[公式]。对于圆上任意一个点，直线上都有可数个点与之对应。但是，对于圆上一条连续的路径，虽然直线上也有可数条连续路径与之对应，一旦选定直线上的起点，路径是唯一的。这条新路径就是圆上路径的一个提升。在覆叠空间上定义并计算这个映射度就非常直观：圆上的封闭路径提升到直线上，起讫点映到圆上是同一个点，因此他们一定相差一个整数，这个整数就是映射度。

我们可以看到，这个新路径和原路径在局部上甚至是一一对应的，但在整体上有很大的不同：原路径是封闭的，新路径却不是，因此可以得到原来不容易得到的一些东西。

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