群理论 (2-1)

正文

数学起源于数字——清晰、具体、直观。然而，在过去两个世纪中，它已变得更加抽象。18世纪末至19世纪初，数学开始走向抽象化的第一步，这与一个被称为群论的领域有关，它改变了我们所知的理论数学和应用数学。

群论推广了整数的基本性质，它已经彻底改变了几何、代数和分析学（即对平滑变化函数的数学研究）。群论被用于加密信息，研究病毒的形状。物理学家依赖群论来统一自然界的基本力：在高能情况下，群论可用于展示电磁力、核力和导致放射性的力，都是单一基本力的不同表现。

“群”这个数学术语是在1830年由法国天才埃瓦里斯特·伽罗瓦提出的，当时他年仅18岁。（两年后，他在决斗中丧生，但他已经改变了数学的历史进程。）不过，他并不是单独发现群概念的。“这并不是说某天一群数学家突然聚在一起，说‘让我们创造一个抽象结构开个玩笑吧，’”伦敦格雷沙姆学院的群论专家萨拉·哈特说道。“这个概念是在19世纪大约50年间逐渐形成的，这些规则证明是最合适的，它们提供了最大的灵活性和普遍性，同时仍然能够证明一些数学结论。”

群是一个集合或对象的集合，配合一种运算，该运算接收两个对象并输出第三个对象。可以说，最简单的例子是整数与加法运算。群必须满足四个规则。

• 第一个规则称为闭合性（closure）：将任意两个整数相加，结果仍然是一个整数。

• 第二个规则称为结合律（associativity）：如果将三个数相加，结果不取决于你如何组合它们。你可以先将3和4相加得到7，再加5得到12；或者你可以先将4和5相加，再加3，无论哪种方式，结果都是一样的：12 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)。

• 第三个规则是群中必须包含一个不会改变其他群元素的元素，称为单位元(identity element)。对于加法运算，0是单位元，因为任何数加0结果不变。

最后，群中的每个元素必须有一个逆元——将某个元素和它的逆元相加，会得到单位元。在整数中，某个数的逆元就是它的负数。例如，3 + (−3) = 0。

要理解这四个性质的重要性，注意一个被遗漏的性质：当你相加两个数时，交换它们的顺序不会影响结果：3 + 5 与 5 + 3 相同。这个性质称为交换律，但群并不要求必须满足交换律。通过将这一性质设为可选，数学家得以探索出丰富多样的结构。

一个非交换群的例子是带标记顶点的等边三角形。如果你将三角形旋转三分之一圈或沿其垂直轴翻转，图形中唯一变化的只是标记的位置。这些保持形状不变的变换称为三角形的对称性。共有六种这样的变换，它们构成一个称为D₆ 的群（更一般地说， D₂ₙ 是由具有n边的规则图形的对称性构成的群，因此 D₈ 是正方形对称性的群）。

要“相加”两个对称性操作，只需依次执行它们。你很快会发现D₆ 群不是交换的：先翻转再旋转，标记的位置会与先旋转再翻转的结果不同。

D₆ 是唯二的包含六个元素的群之一。另一个六元素群的例子是以数字 {0, 1, 2, 3, 4, 5} 为集合。对于其运算，按通常方式将两个数相加，然后除以6，忽略商只保留余数。例如，3 和 5 相加得 2，因为 8 除以 6 的余数是 2。这被称为模6加法，这个群被称为 Z₆ 。一般来说， Zₙ 是一个由数字 {0, 1, 2, 3, …, n − 1} 以及模n加法构成的 n 元群。与 D₆ 不同， Z₆ 是交换群，因为 3 + 5 = 5 + 3，依此类推。

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