群理论 (2-2)

Z₆ 和 D₆ 有着不同的结构。不仅一个是交换群，而另一个不是，还可以用 Z₆ 中的一个元素生成该群的所有元素，即数字 1：从1开始，不断加1。而在 D₆ 中，没有任何元素具有这个性质。过去一个世纪，弄清楚群的可能结构是代数的核心项目之一。

为此，数学家尝试在一个群中识别包含的较小群，称为子群。这些子群必须保留整个群的运算。例如，偶数构成了整数中的一个子群，因为两个偶数相加的结果仍然是偶数。另一方面，奇数则不是一个子群，因为两个奇数相加会得到一个偶数。单位元始终独自构成一个子群，称为平凡子群。

弄清楚群中包含哪些子群是理解其结构的一种方式。例如，Z₆ 的子群是 {0}, {0, 2, 4} 和 {0, 3}——即平凡子群、2 的倍数以及 3 的倍数。在 D₆ 群中，旋转构成了一个子群，而反射则不是，因为两次反射连续进行会产生一个旋转，而不是反射，就像两个奇数相加会得到一个偶数一样。

某些类型的子群称为“正规”子群，它们对数学家尤其有用。在交换群中，所有子群都是正规的，但这一性质并不总是普遍适用。这些子群保留了交换性的一些最有用的性质，而不强制整个群都具备交换性。如果可以列出所有正规子群，就可以将群分解为类似于将整数分解为素数因子的成分。没有正规子群的群称为单群，无法进一步分解，就像素数无法再被因式分解一样。 Zₙ 群只有当 n 为素数时才是单群——例如，在 Z₆ 中，2 和 3 的倍数构成了正规的子群。

然而，单群并不总是如此简单。“这是数学中最名不副实的名称之一，”萨拉·哈特说道。1892年，数学家奥托·赫尔德 提议研究者编制一份所有有限单群的完整列表（无限群如整数则属于另一个研究领域）。

事实证明，几乎所有有限单群要么像Zₙ （对于素数 n 的情况），要么属于另外两类家族之一。此外，还有26个例外，称为偶发群。确定这些群并证明没有其他可能性，耗费了一个多世纪。

最大的偶发群，恰如其名被称为“怪兽群”，于1973年被发现。它包含超过 8×10⁵⁴ 个元素，表示一个具有近 20 万维空间中的几何旋转。“令人难以置信的是，人类竟然能找到这个东西，”萨拉·哈特说道。

到1980年代，赫尔德所呼吁的主要工作似乎已经完成，但证明没有更多偶发群的存在非常困难。1989年，数学界在一份1980年代早期的800页证明中发现了漏洞，导致分类工作进一步延迟。最终，新的证明于2004年发表，完成了这一分类任务。

现代数学中的许多结构——例如环、域和向量空间——是在群的基础上增加更多结构而创建的。在环中，除了加法和减法，你还可以进行乘法；在域中，还可以进行除法。但在这些复杂结构的底层，始终存在相同的群的概念及其四个公理。“在这种结构中，仅凭这四条规则所可能产生的丰富性，简直令人叹为观止，”

参考： ‘Groups’ Underpin Modern Math. Here’s How They Work. | Quanta Magazine

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