代数

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在《概率论》中，我们引入σ代数的一个初衷是为了更严谨的表述随机事件。我们先回顾一下σ代数的概念，假设 Ω 为一个样本空间，由样本空间 Ω 的某些子集构成的集合 F 如果满足：

1. Ω∈F；

2. 如果 A∈F，那么 Aᶜ∈F；

3. 对可列并封闭；

则称F 是 Ω 上的一个σ代数；称 F 中的元素为随机事件。

应用中，我们更多时候会把σ代数解释为某种“信息”，即在已知某个σ代数（“信息”）后，我们可以判断某个随机事件是否发生。比如： F₁：＝{Ω，ф，A，Aᶜ} ，那么在已知 F₁ 情况下，我们能够判断随机事件 A 是否发生。假设 F₀：＝{Ω，ф} ，在已知 F₀ 的情形下，我们无法判断事件 A 是否发生。从这个意义上看， F₁ 比 F₀ 包含更多的信息。因此，σ代数包含的元素越多，其所蕴含的信息就越丰富。

所谓的某个随机变量X 所生成的 σ代数，记作 σ(X)，就是在已知 σ(X) 的情形下，可以判断关于 X 的随机事件是否发生。

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