形式主义与多宇宙观（三） (3-2)

在整个大基数强度层谱中，可扩张基数相比超紧基数并没有强很多。

Woodin的终极L计划来自他的下述发现：对V中的存在的任何已知的大基数κ（可能远强于超紧基数），如果N是V的一个超紧基数的弱张子模型（weak extender model），那么κ大基数性质相对于 N是绝对的。

因此，如果我们能找到一个包含超紧基数的具有精细结构的类似 L的弱张子模型（终极L），那么它也兼容任何V中存在的大基数。

由此，假设V=终极L在大基数层谱上不会损失任何解释力强度。

注意，薄葉季路的结果表明，如果存在可扩张基数κ，那么κ以上的大基数在整个泛型复宇宙中（相对地幔）是绝对的（无法通过Lévy力迫坍塌κ及以上的基数）。

地幔的这个性质与上述终极L的性质相呼应。

加之，地幔本身是最大的力迫不变的（作为一种类似L的性质，Woodin要求终极L也是力迫不变的）内模型，无怪乎 Woodin 为这一结果欢呼并声称：“任何 V=终极 L 的公理候选都蕴含 V 就是泛型复宇宙的那个极小元②。”[17]需要注意的是，根据 Fuchs 等人的证明[15]，任何一个 ZFC 模型可以是某个 ZFC 模型的地幔。

所以假设 V=V 的地幔并不能直接带来多少有价值的推论，这与 V=终极 L 仍然相去甚远。

另一个值得注意的有关多宇宙观的进展来自Hamkins等人关于集合论潜在主义系统的模态逻辑刻画。

Hamkins 和 Benedikt Löwe 曾证明了 ZFC 可证的力迫扩张关系的模态逻辑理论恰好是 S4.2[18]。

然而，Hamkins主张的多宇宙观远不止由力迫法生成的泛型复宇宙。

Hamkins和 Woodin定义了一个普遍有穷集（universal finite set）{x: φ(x)}。

φ是一个集合论Σ2公式，ZFC可证它定义的集合是有穷的[19]。

而如果它在某个可数ZFC模型M中定义了一个有穷集合y∈M，那么对任何有穷z∈M都存在M的一个顶扩张N 使得

{x∈N│φᴺ(x)}＝z。

这里，我们称 N 是 M 的一个顶扩张（top-extension），当且仅当 M 是 N 的子模型，并且每个 N∖M 中的元素在 N中冯诺依曼层谱上的秩（rank）都在 M 中的每个序数之上。

利用普遍有穷集在诸顶扩张中可以被任意扩张，可以构造一系列“铁路开关”（railway switches）。

即一系列集合论语句 σ，使得◇□σ和◇□¬σ都成立，同时□σ和□¬σ都尚未成立。

这里◇σ在某个集合论模型上成立，当且仅当存在它的一个满足σ的顶扩张。

这些“铁路开关”的存在导致.

2公式◇□σ→□◇σ无法成立。

由此可以证明由可数集合论模型在顶扩张关系下生成的潜在系统（potentialism system，也是整个集合论复宇宙的一个子结构）的模态理论恰好是S4，也即任何一个潜在系统模态理论的下界。

薄葉季路的结果同时被作为单一宇宙观代表的 Woodin 以及作为多宇宙观代表的 Hamkins 喝彩。

前者将其看作是一个非常强烈的信号，指示存在着典范的集合论宇宙，它同时具有力迫不变性和保持对大基数的解释力这两条良好的性质。

后者将其视作对集合论复宇宙研究的一个典范成果，它大幅推进了我们对ZFC泛型复宇宙结构的理解，同时他又没有削减这个复宇宙的丰富性（任何ZFC模型都可以是地幔）。

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