元数 (5-4)

为了重建粒子物理的理论体系，福瑞的模型从狄克森代数中获得启发。她构建了 4 种可除代数的乘积：ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗，其中 ℝ 代表实数，ℂ 代表复数，ℍ 代表 4 元数， 代表 8 元数。这种乘积也被称为狄克森代数，于 1970 年代由物理学家杰弗里·狄克森提出，不过不久之后他就因为没能拿到终身教职而离开学术界。

狄克森在回忆录中写到，“我当时被一个来自直觉的点子击中：这些代数是理解粒子物理的关键，我愿意追随这种直觉，哪怕下地狱。”

当时，狄克森和其他人的思路是将可除代数与其他数学工具融合。然而，福瑞不这么做，她的工具仅限于可除代数。ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗提供了一个 64 维抽象空间。在这个空间中，1 个子空间的粒子被其他粒子相乘，发生位移，旋转，变换之后，仍然在之前的子空间内，这就是ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗的对称性。

狄克森知道，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗ 分为 2 个部分：ℂ⊗ℍ和ℂ⊗。在福瑞的模型中，对称性与粒子在时间-空间中的运动和旋转有关。SU(3) × SU(2) × U(1) 对称组之所以能反应粒子的内在特性，以及粒子与强力、弱力和电磁力交互的特性，关键在于ℂ⊗。

图 | 福瑞论文中的数学模型（图源：arXiv）

此外，福瑞也从Günaydin 和 Gürsey 的早期工作中寻找灵感。

Günaydin 和 Gürsey 曾发现了 SU(3) 和 8 元数的关系。1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 和 e7 是一组 8 元坐标。他们构建了一个叫做 G2 的奇异对称组，该对称组无法在数学上被纳入其他对称组中。

让 e7 不变，改变其他维度，就会让 8 元数相对于 SU（3）对称组的对称性降低。Günaydin 和 Gürsey 基于这个事实，建立了强力与“1 代”夸克之间的 8 元数模型。

在福瑞发表在《欧洲物理学 C 刊》上的最新论文中，她构建了 SU(3) × SU(2) × U(1) 与 1 代粒子之间关系的数学模型，以及电子、中微子、3 种上夸克、3 种下夸克以及对应反粒子之间关系的数学模型。这些数学模型还能够解释，为什么一个粒子的电荷只能是某个最小单位的整数倍。

图 | 基于ℂ⊗，福瑞的 8 元向量成功模拟粒子间弱相互作用。（图源：arXiv）

然而，如何将该模型扩展到自然界中的全部 3 代粒子，仍然是个问题。

不过，根据一篇预期发表于《物理快报 B》上的论文，福瑞基于ℂ⊗构建了标准模型的另外 2 个对称组：SU(3) 和 U(1)。在这个模型中，3 代粒子全部体现出对称性，且这个模型允许惰性中微子的存在，这是一种物理学家积极寻找的，被认为是暗物质组成部分的粒子。当然，由于 3 代模型只描述了 SU(3) 和 U(1)，因此还不是最终答案。不过福瑞相信，她可以沿着当前思路，构建出真正意义上的完整模型。

除了福瑞，3 名数学物理学家米切尔·杜博斯-维勒特（Michel Dubois-Violette），一万·托德洛夫（Ivan Todorov）和斯维尔塔·顿思卡（Svetla Drenska）也在利用基于 8 元数的约当代数构建模型。

这样，在多年的孤军奋战之后，福瑞终于有了同道。

可她仍然固守最基本的ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗框架。她认为其足够复杂，提供的自由度足够多。福瑞的目标是构建出能容纳质量、希格斯机制（一种生成质量的机制，能够使基本粒子获得质量）、引力和时间-空间的大一统模型。

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