元数 (5-3)

今年 39 岁的福瑞还记得，自己在高中时期的一次经历让自己对物理产生了最初的热爱。在不列颠哥伦比亚省，她的老师讲到，整个世界的背后只有 4 种力。物理学家 1970 年以来就致力于将这四种力统一在 1 个理论框架下。

几年后，当她在温哥华西蒙弗雷泽大学读本科的时候学到 4 种可除代数，再一次感受到了这种无比的优美和神秘。“为什么不是只有 1 种可除代数，也不是有无穷多种可除代数，而是只有 4 种可除代数？这是多么神奇的一件事情。”

为什么都得是 4 ？福瑞觉得，这是自己遇到的最优美的事情。

福瑞后来又在一门高级几何课程上学到了可除代数。可除代数之前的关系很奇妙：实数维度乘 2，获得复数；复数维度乘 2，获得 4 元数；4 元数维度乘 2，获得 8 元数。每一次扩充，新数就会比前一种数减少一种特性。比如，实数可以从小到大排序，但是复数不行。此外，4 元数的乘法没有可交换性，即 a×b 不等于 b×a。当然，在解析几何中这个现象并不神秘：高维数字相乘需要借助旋转操作，而如果改变旋转操作的次序，结果自然发生变化。

图 | Cayley-Dickson 代数性质（图源：Wikipedia）

更奇怪的是，8 元数的乘法不服从结合律，即（a×b）×c 不等于 a×（b×c）。加州大学数学物理学家和 8 元数专家约翰·贝兹（John Baez）表示，8 元数不服从结合律的特性令数学家非常恼火，因为 4 元数的乘法可交换性比较容易描述，而 8 元数乘法的特性非常难以描述。

8 元数乘法的不可结合性成为物理学家利用 8 元数的巨大障碍，但是这种特性另一方面也是 8 元数的独特魅力，因为标准模型本身也非常奇异，因此有物理学家认为，只有 8 元数才能描述这种奇异性。

标准模型中，基本粒子被分成 3 个对称组 SU（3），SU（2）和 U（1），分别对应于强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用，对称组内的互换不会影响方程的形式。3 个对称组基于 6 种夸克，2 种轻子，以及以上粒子的反粒子。每种粒子还有 3 代。目前，第四种基本力——重力，被爱因斯坦广义相对论方程单独描述，尚不能被纳入标准模型中，它描述了时间和空间的几何关系。

一些粒子在标准模型中具有对称性。但是问题在于，为什么方程是 SU(3) × SU(2) × U(1) 的形式？特定粒子的数学描述如何将电荷、手性和“3 代”冗余的特性结合？

图 | 一些科学家认为标准模型只是另一个更完备模型中的一部分。（图源：Wikipedia）

传统观点认为，标准模型是一个更完备的理论模型的一部分，因此其不完备性才导致了这些奇怪特性。然而，一些物理学家认为标准模型本身就是完备的，因此他们决心用 8 元数来描述标准方程，揭开其隐藏的秘密。

福瑞读研究生时知道，4 元数描述了粒子在 4 维时间-空间中的变换和旋转，自此开始致力于 8 元数的研究。她认为，8 元数的 8 个自由度正好对应于一代粒子：1 个中微子，1 个电子，3 个上夸克和 3 个下夸克。如果这不是巧合，这一研究很可能揭开更大的宇宙奥秘。

当然，目前离最终答案还差得很远。

此生唯愿追随真理的直觉

8 元数和所有奇异对称组之间的关系让很多数学家，包括菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者米切尔·阿提亚（Michael Atiyah）认为，自然的终极规律隐藏在 8 元数中。

阿提亚在 2010 年宣称，甚至长期无法被纳入统一框架的引力，也很可能是 8 元数和奇异组互动作用的结果。

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