柯里悖论（二） (3-1)

柯里悖论，是这样一种悖论： 句子C： “如果C，则F” 。

只需要一些显然无害的逻辑推导规则， 则仅从句子C的存在就证明了任意主张F， 产生了矛盾。

由于F是任意的，因此具有这些规则的任何逻辑都可以证明一切。 悖论可以用自然语言和各种逻辑来表达，包括集合论，λ演算和组合逻辑的某些形式。

这个悖论由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里（Haskell Brooks Curry）提出， 并且以其命名。

所有可以称为“柯里悖论”的悖论共同特征是，它们以连接词或谓词形式，利用蕴涵等概念。 柯里悖论出现于许多不同的领域。 就像罗素悖论一样，它可以是集合论或属性论的悖论的形式出现。 但是，它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现。 柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论都不同，因为它本质上并没有涉及否定的概念。 常见的真，理论版本包含一个句子，该句子对的自身说明：如果它是真实的，那么任意选择的主张是真实的。或者使用更差的实例来说明自身，如果它是真实的，那么每一个虚假都是真实的。这样一个句子的存在似乎暗示着任意选择的主张的真实性，或者（在更差的情况下）每一个虚假的事实都是如此， 所以是悖论。

非形式化论证

条件命题形式为：

“如果A，则B”

证明条件命题（命题形式为：“如果A，那么B”）的标准方法称为“条件证明”。 在该证明方法中，为了证明“如果A，则B”，1） 首先假设A，2) 然后在该假设下B被证明是正确的。

柯里悖论使用一种特殊的自指条件命题（self-referential conditional sentence），如以下示例所示：

句子X为：“如果X，则Y”。

按上面标准方法(“条件证明”)，证明条件命题X时， 首先假设X成立， 由条件命题本身“如果X，则Y”， 则 “Y”成立； 因此推导出，X成立。 由于“Y”是任意的， 也可以用任何其他命题代替，因此，仅使用公认的逻辑推理方法，每个命题似乎都是可以证明的。不但可以证明Y，亦可以证明¬Y，这种情况是自相矛盾的。

另一个例子如下：

如果这句话是正确的，那么德国与中国接壤。

尽管德国没有与中国接壤，但例句当然是自然语言的句子，因此可以分析该句子的真实性。悖论来自此分析, 分析包括下面两个步骤：

1. 首先，可以使用上面的标准方法(“条件证明”)证明例句是正确的。

2. 其次，例句可以用来证明德国与中国接壤。因为德国不与中国接壤，所以这表明其中一个证据有误。

“德国与中国接壤”的命题可以用任何其他命题F代替，并且该命题F仍然可以被证明。

形式化论证

命题逻辑证明

上一节中的示例使用了非形式化的自然语言推理。柯里悖论也出现在某些形式逻辑中。在这种情况下，它表明，如果我们假设存在一个形式句子（X→Y），其中X本身相当于（X→Y），那么我们可以用形式证明来证明Y。有关本节中使用的逻辑符号的说明，请参阅 逻辑符号表。 用命题逻辑的形式证明如下：

1. X := (X → Y) 起点。 相当于， 这句话： “如果这句话为真，则 Y”

2. X → X 通过同一律

3. X → (X → Y) 根据1，X 等于 X → Y； 所以用X → Y替换 2 的右侧

4. X → Y 从 3 通过紧缩规则

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