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柯里悖论(二) (3-1)

柯里悖论,是这样一种悖论: 句子C: “如果C,则F” 。

只需要一些显然无害的逻辑推导规则, 则仅从句子C的存在就证明了任意主张F, 产生了矛盾。

由于F是任意的,因此具有这些规则的任何逻辑都可以证明一切。 悖论可以用自然语言和各种逻辑来表达,包括集合论,λ演算和组合逻辑的某些形式。

这个悖论由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里(Haskell Brooks Curry)提出, 并且以其命名。

所有可以称为“柯里悖论”的悖论共同特征是,它们以连接词或谓词形式,利用蕴涵等概念。 柯里悖论出现于许多不同的领域。 就像罗素悖论一样,它可以是集合论或属性论的悖论的形式出现。 但是,它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现。 柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论都不同,因为它本质上并没有涉及否定的概念。 常见的真,理论版本包含一个句子,该句子对的自身说明:如果它是真实的,那么任意选择的主张是真实的。或者使用更差的实例来说明自身,如果它是真实的,那么每一个虚假都是真实的。这样一个句子的存在似乎暗示着任意选择的主张的真实性,或者(在更差的情况下)每一个虚假的事实都是如此, 所以是悖论。

非形式化论证

条件命题形式为:

“如果A,则B”

证明条件命题(命题形式为:“如果A,那么B”)的标准方法称为“条件证明”。 在该证明方法中,为了证明“如果A,则B”,1) 首先假设A,2) 然后在该假设下B被证明是正确的。

柯里悖论使用一种特殊的自指条件命题(self-referential conditional sentence),如以下示例所示:

句子X为:“如果X,则Y”。

按上面标准方法(“条件证明”),证明条件命题X时, 首先假设X成立, 由条件命题本身“如果X,则Y”, 则 “Y”成立; 因此推导出,X成立。 由于“Y”是任意的, 也可以用任何其他命题代替,因此,仅使用公认的逻辑推理方法,每个命题似乎都是可以证明的。不但可以证明Y,亦可以证明¬Y,这种情况是自相矛盾的。

另一个例子如下:

如果这句话是正确的,那么德国与中国接壤。

尽管德国没有与中国接壤,但例句当然是自然语言的句子,因此可以分析该句子的真实性。悖论来自此分析, 分析包括下面两个步骤:

1. 首先,可以使用上面的标准方法(“条件证明”)证明例句是正确的。

2. 其次,例句可以用来证明德国与中国接壤。因为德国不与中国接壤,所以这表明其中一个证据有误。

“德国与中国接壤”的命题可以用任何其他命题F代替,并且该命题F仍然可以被证明。

形式化论证

命题逻辑证明

上一节中的示例使用了非形式化的自然语言推理。柯里悖论也出现在某些形式逻辑中。在这种情况下,它表明,如果我们假设存在一个形式句子(X→Y),其中X本身相当于(X→Y),那么我们可以用形式证明来证明Y。有关本节中使用的逻辑符号的说明,请参阅 逻辑符号表。 用命题逻辑的形式证明如下:

1. X := (X → Y) 起点。 相当于, 这句话: “如果这句话为真,则 Y”

2. X → X 通过同一律

3. X → (X → Y) 根据1,X 等于 X → Y; 所以用X → Y替换 2 的右侧

4. X → Y 从 3 通过紧缩规则

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