柯里悖论（二） (3-2)

5. X 将 4 替换为 1

6. Y 根据5和4并通过肯定前件规则

在已知 Y 的值（true or false）的特定情况下，只需几个步骤即可揭示矛盾。例如，当Y是“德国与中国接壤”时，就知道Y是假的。

1. X = (X → Y) 前题

2. X = (X → 假) 由1 代入 Y 的已知值

3. X = (¬X ∨ 假) 由2 换去“蕴含”

4. X = ¬X 由3

另一种证明是通过 皮尔士定律(注： 皮尔士定律是 排中律的推论), ((X → Y) → X) → X 。证明如下：

如果 X = X → Y，则 (X → Y) → X。根据皮尔士定律 和 肯定前件规则，意味着X 和随后的 Y（如上面的证明）。

关于 皮尔士定律是 排中律的推论， 见： 枫叶村民：命题逻辑的皮尔士定律（ Peirce's law ）

讨论

在命题逻辑中，以运算符号依文法规则由原子公式创建起的公式称为 合式公式。X = (X → Y) 是命题逻辑中一个 合式公式， 在有自递归时，存在不一致性（矛盾）。 Curry's悖论表明，容许自递归表达式的命题逻辑系统是不一致的。

Curry's悖论可以在支持基本逻辑操作并允许构建自递归函数作为表达式的任何语言中进行表述。自然语言几乎总是包含许多可用于构建悖论的特征，许多其他语言也是如此。在 20 世纪 30 年代，Curry's悖论和相关的克莱恩-罗瑟悖论（ Kleene–Rosser paradox）在表明基于自递归表达式的形式逻辑系统是不一致的方面发挥了重要作用。其中包括某些版本的 lambda 演算和组合逻辑。

悖论分类

英国数学家、哲学家兼经济学家拉姆齐(Frank Plumpton Ramsey)于1925年最早把逻辑悖论同语义悖论(英文:Semantical Paradox)区别为两个类别, 见文献 的第二章逻辑与数学基础(The Foundations of Logic and Mathematics)，罗素悖论属于前一类，说谎者悖论属于后者。拉姆齐认为，逻辑矛盾涉及数学或逻辑术语(例如类，数)，因此表明我们的逻辑或数学存在问题。而语义矛盾除纯逻辑术语外还涉及“思想”，“语言”，“符号”等概念, 根据拉姆齐的观点，它们是经验性(非形式)术语。

柯里悖论可以像罗素的悖论一样，采取集合论或属性论的逻辑悖论的形式。 但是它也可以采取语义悖论的形式，非常类似于说谎者悖论。

柯里悖论的意义

关于柯里悖论的讨论强调，因为其并不“本质上涉及否定”, 它与罗素悖论和说谎者悖论有实质性不同。 一些具有弱否定原理的 非经典逻辑(比如， 次协调逻辑)， 可以解决罗素悖论和说谎者悖论，但仍然容易受到柯里悖论的影响。希望能够避免柯里悖论的这一要求在非经典逻辑的发展中起了重要作用。

参考资料：

1. Shapiro, Lionel and Jc Beall, "Curry’s Paradox",The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Winter 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = ＜ plato./arch...＞.

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