分析学 (3-3)

19世纪以来，偏微分方程和常微分方程理论也有很大发展。特别应该指出的是，与偏微分方程密切相关的傅里叶分析也是在这一世纪发展起来。法国数学家傅里叶在1811年的论文中采取把函数用三角函数展开的方法来解热传导方程，从而产生了傅里叶级数和傅里叶积分的概念。由此而建立了傅里叶分析的理论。这一理论很快得到发展和广泛应用。但是，傅里叶分析仍有它的局限和固有的确定。20世纪初就已经出现，20世纪80年代才形成系统理论的小波分析弥补了傅里叶分析的不足，成为傅里叶分析发展史上的一个新的里程碑。

20世纪初，由于19世纪以来对于函数性质的一系列发现，打破了自从微积分学发展以来形成的一些传统理解。又由于对傅里叶分析的进一步研究，显示了黎曼积分的局限性。这两方面的原因，都促使对积分理论的进一步探讨。1902年，德国数学家勒贝格在前人工作的基础上出色地完成了这项工作，建立了后来人们称之为勒贝格积分的理论。积分学理论和方法的发展与测度理论同时进行。这些工作奠定了实变函数论的基础。

泛函分析的发展反映了20世纪数学发展的一个特点，即对普遍性和统一性的追求。在泛函分析中，函数已不作为个别对象来研究，而是作为空间中的一个点，与几何学结合起来，对整个一类函数的性质加以研究。泛函的抽象理论是1887年由意大利数学家沃尔泰拉在他关于变分法的工作中开始的，但泛函分析的开端还与积分方程有密切联系。在建立函数空间和泛函的抽象理论的卓越成就中，应首推法国数学家弗雷歇的著名工作。希尔伯特、E.施密特、巴拿赫、冯·诺伊曼、迪拉克、盖尔范德等在发展泛函分析理论的工作中都做出了杰出的贡献。

函数逼近论也是在19世纪末至20世纪初发展起来的分析学的一个分支。它的中心思想是用简单的函数来逼近复杂的函数。1859年切比雪夫考虑了最佳逼近问题，1885年外尔斯特拉斯证明了连续函数可以用多项式在固定区间上一致逼近。他们的工作至今仍有影响。函数构造论的基础是由美国数学家杰克逊和苏联数学家伯恩斯坦奠定的（1912）。1957年，柯尔莫戈罗夫关于用单变量函数多变量函数的工作，进一步发展了函数逼近论的中心思想。在函数逼近中，逼近的方式和所选用的工具直接影响逼近程度。柯尔莫戈罗夫、美国数学家沃尔什、洛伦茨等在这方面都有重要工作。函数逼近论的思想已经渗透到了分析学的许多领域。

20世纪发展起来的多复变函数论是近代分析学中很有发展前途的分支之一。早在19世纪，外尔斯特拉斯、庞加莱和库辛就把单复变函数论中的一些重要结果向多复变量的情形推广，得到了多复变全纯函数的一些基本结果。20世纪以来，特别是20世纪30年代以后，对多复变函数的研究十分活跃。法国数学家H.嘉当、日本数学家冈洁取得了显著成果。20世纪50年代以后，在多复变函数的研究中，出现了用拓扑和几何方法研究多复变全纯函数整体性质的趋势。而近代微分几何与复分析的相互融合导致了复流形概念的建立，以及对多复变函数的自守函数的研究。这些都表明近代多复变函数的发展更趋于综合。它除了联系着分析学的许多分支外，还紧密联系着几何学、代数学以及代数几何的发展，体现了近代数学发展的特点。

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