对称逻辑（一） (6-2)

第二，R中只有一个元素φ，使得φa=b，φb=a，即|R|＝1。一个最简单的例子，－1和1，存在－(－1)＝1，且－(1)＝－1，所以－1和1关于“－”对称，“－”是一个运算符，表示一种运算，其实数学中的运算与现实中的操作或者过程是等价的。既然－1与1对称，那么由－1和1所构成的集合{－1，1}也具有对称性。按照同样的模式我们可以对这个集合进行扩展，不难知道关于运算“－”对称的不只有－1和1，还有很多：－(－0)＝0、－(－1)＝1、－(－2)＝2、－(－3)＝3、……，由这些对称元素构成一个集合｛……－3、－2、－1、0、1、2、3、……｝，这个集合是整数集，因此整数集也是对称的。学过群论的同学应该马上知道整数集是关于加法运算的群，这就很有意思了，通过减法运算“－”定义的对称元素所构成的整数集，却是一个关于加法运算“＋”的群。群是什么?群是集合，是满足某些运算规则的集合。设G是一个带有运算符"*"的非空集合，其中元素的运算满足以下4个条件：

1、封闭律 对于G中的任意两个元素a，b，a*b仍然在G中；

2、结合律 对于G中的任意三个元素a，b，c，有(a*b) *c＝a*(b*c)；

3、幺元律 G中存在e（称为幺元），使得对于G中的任意元素a，有e*a＝a*e＝a；

4、逆元律 对于G中的任意元素a，G中一定存在b（称为a的逆元），使得b*a＝a*b＝e。

满足这样4条运算规则的集合就称为群。对于整数集来说，它所带的运算符就是“＋”。

那么群与对称是什么关系?是不是可以说群就是对称，对称就是群呢?好像不能，通常的说法是群是用来研究对称的工具，比方说群是显微镜，对称是微生物，通过显微镜我们可以清晰观察到微生物的本来面目，但我们不能说显微镜就是微生物，可见群还不能等同于对称。像集合{－1，1}，你就不能说它是群，群的最低要求是得有3个元素，否则四律之一的结合律便无从谈起，像{－1，0，1}就可以是群，而按照对称的定义，集合{－1，1}虽然不是群，但仍然可以认为它具有对称性。粗略来看，对称比群简单，群要满足四条，而对称只要满足四条中的一条逆元律就够了，即只要满足a的逆元为b，b的逆元为a，则a、b对称。

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