对称逻辑（一） (6-1)

对称逻辑，是一个偏正短语，对称为偏，逻辑为正，所以文章主题是讲逻辑，讲一种不同寻常的逻辑。它不同于传统的三段论逻辑、现代的符号逻辑以及似是而非的辩证逻辑，它叫对称逻辑。同为逻辑，对称逻辑的不同之处在于对称，所以从对称讲起。

对称逻辑不寻常，但对称的现象极为寻常，随处可见，俯拾皆是。比如近到我们的左手和右手，以及路边的花花草草，远到宇宙天体运行的规律，无不蕴含着对称的深意。但要问什么是对称，对称现象背后的本质是什么，却不是马上能回答上来，一个比较通俗的说法是：对称是在一定变化条件下的不变现象。无疑这是一个非常深刻的认识，只是还停留在现象层面，不具备理论的可操作性，需要进一步抽象才能深入本质。我们就基于这样一个认识——变化中有不变——进一步抽象，将对称定义为：经过某种操作R，使得a、b两者之间可以相互转化，则称a、b关于操作R对称，记作：a又b。用公式表达为：若Ra＝b，且Rb＝a，则a又b（其中对称符号“又”取自“对”字的一边），读作：a对称b。换句话说，如果a的对子是b，同时b的对子是a，则a、b对称。由于这里的对称符“又”是中文的，所以姑且将其称为对称的中式定义，以区别其他关于对称的定义。

尽管对称概念的外延很丰富，但它的内涵离不开两个要点，一个是“变”，一个是“不变”，如何将这两点巧妙地联系起来，是成功定义对称的关键。中式定义中的Ra＝b，表示a转化为b，a原本不等于b，而是a经过转化操作R之后等于b；Rb＝a，表示b转化为a，b原本不等于a，而是b经过转化操作R之后等于a，合起来便是，a和b原本不相等，但经过某种操作R，可以使得a等于b，b等于a，其中“R”表示变，“等于”表示不变，并且不变是在经过变之后实现的。由此可见对称是一个过程，变是条件，不变是结果，而不能将对称单纯理解为一个静止的结构。

这样定义对称靠谱吗?可以拿一张A4纸来检验，沿长边或宽边的中点连线对折，对折线将A4纸分成a、b两部分，两部分完全重合，即a＝b，由于这个结果要经过对折才能得到，所以完整表述应该是：Ra＝b，即将a沿对折线压向b，与b重合；Rb＝a，即将b沿对折线压向a，与a重合，于是得出a、b对称，进而说整张A4纸是一个对称图形。直观感觉这个定义没什么问题。从这个对折A4纸的例子可以发现a、b构成一个整体，或者说存在一个非空集合H，将集合H一分为二，分成a、b两个子集，由于a、b之间具有对称性，从而认为a、b所构成的集合H也具有对称性。这里所谓的对称性就是变化之中的不变性。

对称的定义，经过某种操作R，使得a、b两者之间可以相互转化，则称a、b关于操作R对称。其中的操作R是一个集合，是实现a、b转化的操作的集合，针对该集合中元素个数（也称为基数）的不同可以分别予以说明：

第一，R为空集Ø，|R|＝0，即没有任何操作能够让a转化为b，或者b转化为a，则a、b不对称。但此时Øa=a，应该是成立的，即不需要经过任何操作或转化，a=a，自身与自身对称。当然，也可以将不操作视为一种操作，那么就不存在空集的情况，关于R集的基数的计数系统就要从1开始，而不是从0开始，本文选择从0开始。

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