加西亚的悖论（二） (5-2)

我们首先考虑"没有确定性"的确定性，将其表示为∀P¬Px，即对于所有确定性，x都不具有该确定性。那么证明的开头就是二阶理解应用于"未定的"确定的一个实例。

1.∃x∀y(y∈x↔∀P¬P(y)) by Comprehension

2.|∀y(y∈a↔∀P¬P(y)) assumption for ∃ elimination(“a” is arbitrary)

3.||[b] assumption of arbitrary name “b” for ∀ introduction

4.||b∈a↔∀P¬P(b) 2 ∀ elimination

5.|||b∈a assumption for ¬ introduction

6.|||∀P¬P(b) 4,5 ↔ elimination

7.|||∃P(P(b)) 6 ∃2 introduction

8.||||Q(b) assumption for ∃2 elimination(“Q” is arbitrary)

9.||||¬Q(b) 6 ∀2 elimination

10.||||⊥ 8,9 ¬ elimination

11.|||⊥ 7,8–10 ∃2 elimination

12.||b∉a 5–11 ¬ introduction

13.|∀x(x∉a) 3–12 ∀ Introduction

14.|∃y∀x(x∉y) 13 ∃ introduction

15.∃y∀x(x∉y) 1,2–14 ∃ elimination

评论：(1)从逻辑的角度来看，有两点值得注意。首先是二阶资源的使用，这在集合论中并不常见。我们不知道这是否会带来任何特殊问题。请注意，我们可以用仅限于其他现有集合子集的"理解"来完成上述工作，但我们仍然需要二阶版本。其次，正如本文正文所指出的，我们还没有证明确实存在一个no-matter-what。这就需要一个外延公理，而外延性公理在这里既不符合(a)加西亚的核心内涵主义论点（intensionalist contention），即对象不是由对象所理解的东西决定的，而是对象是它所理解的东西与理解它的东西之间的差异，也不符合(b)加西亚关于计数如何相对化为排序属性的半吉奇-克劳特（semi-Geach-Kraut）式理论。

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