综合数学简介 (4-4)

（我希望我能写更多关于后者的内容，因为它真的很有趣。直觉主义之所以是非经典的，主要是因为选择序列：无限序列的每个元素可以由某个“创造主体”“自由选择”，而不是由规则提供。布劳威尔从中得出的具体结论是，这样的序列上的任何操作都必须至少在阶段上是可计算的，只使用有限的初始段，因为我们不能要求创造主体一次性做出无限次的选择。但这正好意味着，对于序列空间上的适当拓扑，任何这样的操作都必须是连续的。这也与开集作为“观察”或“可验证陈述”的观点很好地联系起来，这在另一个帖子中提到过。然而，从我为这本书写的章节的角度来看，这个介绍的目的是为讨论HoTT/UF作为无穷群胚的综合理论奠定基础，而布劳威尔直觉主义将是一个实质性的题外话。）

最后，还有实用主义的观点。

虽然模块主义者认为数学的基本对象实际上是集合，哲学家认为它们实际上是空间（或其他东西），但实用主义者说它们可以是任何东西：没有必要承诺一个单一的选择。

我们做数学究竟是为了什么？

一个原因是我们发现它有趣或美丽。

但所有的综合理论可能都同样有趣和美丽（至少对某些人来说），所以只要我们喜欢，我们不妨研究它们。

我们研究数学的另一个原因是因为它在自身之外有一些应用，例如对物理世界的理论。

现在可能会发生这样的情况，某个应用中出现的所有数学对象恰好都是（比如说）空间。

（这可以说是基础物理学的真理。类似地，在计算机科学的应用中，出现的所有对象都可能恰好是可计算的。）

在这种情况下，为什么不直接基于一个足够好的综合理论来应用，从而获得模块化的许多优势，而不关心我们的理论如何或是否可以在集合论中建模？

将这种观点应用于其他应用领域是很有趣的。

例如，在纯数学框架之外，我们也会谈到集合，来描述物理对象的集合或分类心理行为；我们能以同样的方式使用空间吗？

对象和思想的集合是如何构建的，它们是否自动具有拓扑结构，就像实数一样？

我认为当我们想象拓扑学是“观察”或“可验证陈述”时，这也开始变得很自然。再说一次，在我的章节中对此进行更多的阐述将是一个实质性的题外话；但我有兴趣在这里的评论中听到任何关于它的想法！

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