综合数学简介 (4-3)

这样做的一个好处是通用性。

例如，在欧几里得的“中性几何”（即不使用平行公设）中证明的任何定理，不仅在实数的有序对模型中是正确的，而且在各种非欧几何中也是正确的。

同样，在综合拓扑学中证明的定理可能不仅对普通的拓扑空间是正确的，而且对其他变体理论如拓扑层、光滑空间等也是正确的。

就像数学中经常发生的那样，如果我们只陈述我们需要的假设，我们的定理就会变得更加通用。

即使我们只关心综合理论的一个模型，模块化仍然可以使我们的生活更轻松，因为综合理论可以形式地封装常见的引理或论证风格，而在分析理论中，我们必须不断地手工证明这些引理或论证风格。

例如，正如综合拓扑学中的每一个对象都是“拓扑的”一样，它们之间的每一个“函数”都自动保持这种拓扑（是“连续的”）。

因此，在综合拓扑学中，每个 ℝ → ℝ 的函数都自动是连续的；所有的连续性证明都被“打包”到分析拓扑学是综合拓扑学的模型这个单一证明中。

（如果我们想的话，我们仍然可以谈论不连续的函数；我们只需要非离散地重新拓扑化 ℝ。因此，综合拓扑学颠倒了分析拓扑学的情况：不连续函数比连续函数更难谈论）

与模块化的论点相反，哲学论点则认为数学的基本对象实际上是，或者应该是，某个特定综合理论的对象。

如今很难找到持这种观点的数学家（集合论除外），但从历史上看，我们可以发现很多持这种观点的数学家参与了20世纪早期的伟大基础论战。

诚然，用现代数学语言对100年前数学家的信仰做任何精确的断言都是很危险的，但我认为回顾过去，可以说伟大的基础论战的争论点之一是应该用哪种综合理论作为数学的基础，或者换句话说，数学的基本对象应该是什么样的。

当然，这对于参与者来说是不明显的，除其他原因外，许多人对他们理论的基本对象都使用了相同的词（如“集合”）。

（另一个原因是，争论的问题之一是数学基础应该建立在精确定义的规则或公理之上的观点，今天大多数数学家认为这是理所当然的）。

但从现代的角度来看，我们可以看到（例如）布劳威尔的直觉主义实际上是一种综合拓扑学，而马尔可夫的构造主义递归数学是一种“综合可计算性理论”。

在这些情况下，选择这种综合理论的动机显然在很大程度上是哲学的。

俄罗斯构造主义者之所以以他们的方式设计他们的理论，是因为他们认为一切都应该是可计算的。

同样，布劳威尔的直觉主义可以说是受到一种哲学信念的驱动，即数学中的一切都应该是连续的。

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