不可表达基数
对分划性质k→(k)²₂进行适当扩张定义的基数。
设对于任何划分f:[k]²→2,存在k的一驻子集X⊆k,满足|f"[x]²"|=1,则称k满足k→(驻子集)²₂。
若k>ω且满足k→(驻集)²₂,则称k是不可表达基数。
注意到测度为1集必是驻集,驻集的基数必与原来集合的基数相等,故可测基数必是不可表达基数,不可表达基数必是弱紧基数。
Kunen证明了不可表达基数是π¹₂不可描述的。
Jensen和Solovay指出,若k是不可表达基数,则不存在k库巴雷树;在可构造公理下,k是不可表达基数,当且仅当不存在k库巴雷树。
若k是不可表达基数,则不存在k阿龙扎杨树。
爱尔特希基数
任给序数α,记满足分划性质k→(α₂)^(<ω)的最小基数k为k(α),称为爱尔特希基数。
爱尔特希基数是随α变化而变化的基数。
Erdös与Hajnal证明:k(α)<k(α+1),即爱尔特希基数是随α严格上升的;若α是极限序数,则k(α)是强不可达基数。
利用这个基数,可以很方便的定义拉姆齐基数:爱尔特希基数函数k(α)的不动点即是拉姆齐基数,即满足k(η)=η的η是拉姆齐基数。
延森基数
若每个大小为k的可数语言模型ℳ都有大小为k的初等真子集模型ℬ,则称无穷基数k为延森基数。
等价条件刻画:对于每个划分F:[k]^(<ω)→k,都存在H⊆k,|H|=k,使[H]^(<ω)在F下的像不是整个k集。
Erdös和Hajnal证明了,没有一个阿列夫数是延森基数;Rowbottom证明了最小的延森基数是弱不可达的或有共尾ω;而Keisler和Rowbottom证明,若V=L,则不存在延森基数;Kunen证明存在这么个模型:在其中每个延森基数都是拉姆齐基数。
∏ᵐ_n公式
指高阶语言中合式公式的一种范式,在高阶语言中,若一公式的前束范式的较高阶量词在较低阶量词之前,则称此范式为完全前束范式。
若完全前束范式的最前面量词是m+1阶全称量词(或存在量词),并且m+1阶的量词共有n层,则称此公式为∏ᵐ_n公式。
∏ᵐ_n不可描述基数
若对于任何仅含一个二阶自由变元X的∏ᵐ_n公式Φ(X),当有α层结构〈V_α, ∈ | V_α, R〉满足Φ(R)时,即〈V_α, ∈ | V_α, R〉⊨ Φ(R)成立时,存在β<α,使β层子结构也满足Φ(R),即〈V_β, ∈ | V_β, R∩V_β〉⊨ Φ(R∩V_β),则称基数α为∏ᵐ_n不可描述基数。
k是不可达基数,当且仅当k是∏¹₀不可描述基数,又当且仅当k是∑¹₁不可描述基数;k是弱紧基数,当且仅当k是∏¹₁不可描述基数;若k是可测基数,当且仅当k是∏²₁不可描述基数。
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