数学多元论（三） (7-3)

即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼……因此， 希尔伯特在关于一致性方面的这一奇怪的立场并不是数学形式主义观念的一部分。

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科里不要求一个先行的一致性证明，这是对自弗雷格以来人们探索数学基础基本动机的忽视。

人们希望为数学寻找一个安全的基础，或是逻辑或是形式化的公理系统，以避免可能的谬误。

弗雷格作为典型的实在论者可以不像希尔伯特那样寻求一个有穷数学的一致性证明。

因为在他看来：“公理不会彼此矛盾，因为它们是真的；而这不需要一个证明。”[8]

这里的证明是指希尔伯特在《几何基础》中给出的相对一致性证明或是基于有穷数学的一致性证明。

显然，一则数学命题（在弗雷格看来是这则命题所表达的思想）作为公理仍然是需要辩护的，正如他在《算术基础》中所做的工作那样。

无论希尔伯特的形式主义纲领、布劳威尔及其后继者的直觉主义宣言还是引领当代集合论研究的哥德尔纲领都继承了自弗雷格以来的这一诉求。

科里诉诸物理学的比较来说明先天合法性证明是不需要的。

然而在早已数学化了的物理学中，对一致性的辩护显然是必要的。

任何物理学理论被要求与其他理论和已知现象一致。

例如，关于量子力学标准模型一致性的讨论[9]。

正是由于量子力学与广义相对论之间显然的冲突，人们清楚地意 识到一个涵盖所有四种基本力的万物理论尚付阙如。

因此，寻找一个兼容量子力学与相对论的一致的理论始终是理论物理学的核心问题。

的确，无论在物理学还是数学实践中，人们往往（甚至注定）是在某个理论的一致性证明或其他“安全保证”尚未确立的情况下工作于其中的。

但这不妨碍这类基础问题始终是数学、物理及其哲学的核心关切。

而只要直面这一数学基础问题，无论柏拉图主义者、直觉主义者还是形式主义者（正如前文所分析的）都无法做到所谓的本体论中立。

关于科里的形式主义立场，一个有趣的事实是，他非常重视关于形式系统的“元数学”，甚至以此为数学的本质：“数学是关于形式系统的科学”[10]。

他所关注的“元命题”主要是关于形式系统本身（诸如 “命题x是在形式系统X中可证的”），以及形式系统之间关系（诸如，一个系统是另一个系统的子系统） 这样的命题。

而“形式系统X是一致的”无非是某个具体的谬误（如0=1或α∧¬α）“不是在形式系统X中 可证的”。

因此，无论科里对系统一致性证明持有怎样的看法，他对所谓“元数学”地位的特别关注使他无法避免本体论上的二分立场。

事实上，在关于数学的“形式主义”定义中，科里明确将“非构造性命题排除在真正的数学的领域之外”。

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