连续统基数 (2-2)

运算性质

(a)

n＋2ℵ⁰＝ℵ₀＋2ℵ⁰＝2ℵ⁰＋2ℵ⁰＝2ℵ⁰(n∈N)

证明：2ℵ⁰ ≤ n＋2ℵ⁰ ≤ ℵ₀＋2ℵ⁰ ≤ 2ℵ⁰＋2ℵ⁰＝2 · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰⁺¹＝2ℵ⁰，根据Cαntor — Bernstein — Schroeder Theorem 得证。

(b)

n · 2ℵ⁰＝ℵ₀ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰ (n∈N，n＞0)

证明：

2ℵ⁰ ≤ n · 2ℵ⁰ ≤ ℵ⁰ · 2ℵ⁰ ≤ 2ℵ⁰ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰⁺2ℵ⁰＝2ℵ⁰，根据Cαntor — Bernstein — Schroeder Theorem 得证。

*** 推论 |R × R|＝|R|

(c)

(2ℵ⁰)ⁿ＝(2ℵ⁰)ℵ⁰＝nℵ⁰＝ℵ₀ℵ⁰＝2ℵ⁰(n∈N，n＞0)

证明：

2ℵ⁰ ≤ (2ℵ⁰)ⁿ ≤ (2ℵ⁰)ℵ⁰＝2ℵ⁰ ²＝2ℵ⁰，2ℵ⁰ ≤ nℵ⁰ ≤ ℵ₀ℵ⁰ ≤ (2ℵ⁰)ℵ⁰＝2ℵ⁰ ²＝2ℵ⁰

*** 推论： n 维实数空间 Rⁿ 的所有点集基数为 2ℵ⁰ 。

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