数学多元论（完结） (5-3)

即对任意索引集I 和V的地基“集”{Ni }i∈I ，存在V的地基N⊂i∈I Ni 。

（2）假设集合论宇宙V中存在超巨基数（hyper-hugecardinal），那么V的地幔（mantle）就是V的地基 （ground）[14]。

其中，我们称V的一个内模型M是V的地基，当且仅当V是M的一个集合力迫扩张，也即存在一个 偏序P∈M以及一个(M，P)-泛型滤G使得，V=M[G]。

Richard Laver和Woodin-Joel D. Hamkins独立证明V的地基可以被统一地在V中参数定义。

V的地幔被定义为V的所有地基的交。

由于地基们可以被统一的参数定义，地幔也是V的一个可定义的子类。

但地幔是一个ZFC内模型或进一步是V的地基并不是一个平凡的事实。

集合论地质学（set-theoretic geology）由Gunter Fuchs、Hamkins和Jonas Reitz提出[15]，目的是研究V的地基组成的结构，它可以被看作包含V的整个泛型复宇宙（genericmultiverse）①的一段向下的锥形 （downward cone）子结构，因而也是多宇宙观框架下研究的一部分。

其中的一个重要的问题是V的地基们是否是向下直的（downwarddirect，即V的任何两个地基的交包含一个V的地基）或强向下直的。

地基是向下直的对整个泛型复宇宙是很重要的性质。

如果V的地基是向下直的，那么V地幔就是一个力迫不变的概念，即，V的任意集合力迫扩张V[G]的地基仍然是V的地基。

例如，可构成集类L和Woodin设想的终极L都是力迫不变的。

并且V的地幔也是V的内模型（V中可定义，V中传递，与V等高的ZFC模型)

事实上，V的地幔是V的最大的力迫不变的内模型。

此外，V的地幔是V所在泛型复宇宙中任何一 个宇宙的地幔，也是包含V的整个泛型复宇宙的交。

由向下直性可以证明，泛型复宇宙中的任何两个宇宙N0 ，N1 之间可以通过先取一次地基再做一次力迫扩张从而两步连接起来。

注意，我们仍然需要足够强的大基数假设，也即在上述薄葉季路的第二个定理下，才能得到V的地幔也是V的一个地基，从而属于包含V的泛型复宇宙。

薄葉季路的第二个结论来自假设V中存在足够强的大基数κ，那么V的任何地基都是通过一个＜κ的力迫得到V的。

因此，V的地幔可以通过一步集合力迫得到V。

他将这里的大基数假设进一步削弱为存在一个可扩张基数（extendiblecardinal）[16]。

每个超巨基数是可扩张基数的极限，它本身也是可扩张基数。

在整个大基数强度层谱中，可扩张基数相比超紧基数并没有强很多。

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