数学多元论（完结） (5-2)

裘江杰写道：“为获得具有某种独立性的常规数学结果所必须的命题可能可以作为新公理的候选。这一进路是形式主义的。”[3]

对这句话可以有两种解读。

一种是，得到独立性结果这种“元数学”结果所必须的命题可以作为新公理的候选；

第二种是，要证明已知独立命题（如独立于ZF的CH）所必须的命题可以作为新公理的候选。

已知的独立性元数学结果（由一对相对一致性命题组成）往往是在弱如PRA这样的有穷主义公理系统中可证的，并不需要什么扩张了现有集合论公理系统的新公理候选。

因此，第一种解读可以排除。

关于第二种解读，来自形式主义对新公理的要求是证明目标已知独立命题所必须的命题。

笔者认为，这是不合理的。

按照哥德尔纲领对新公理的标准的讨论，集合论新公理除了必须满足符合我们关于集合概念的直合概念的直观这一内在性要求，还应该具有成果丰富性这一外在性要求，即可以加深我们关于集合论宇宙的理解。

除去丰富性要求，最“安全的”新公理无疑是将目标独立问题或其否定本身作为新公理，这恰好符合形式主义者的上述要求。

目前关于集合论新公理的主要候选理论(W.HuqhWoodin的终极L、力迫公理和内模型假设)都有远超连续统假设问题的丰富后承。

又或许形式主义者思考的对新公理的探究是类似反推数学的工作，后者试图厘清被广泛接受的数学成果所需要的最小二阶算术公理系统是什么。

由此，构造主义者可以在选择他们所认可的公理系统之前就了解他们能够保留什么以及必须放弃什么。

反推数学的一些工作的确被宣称为希尔伯特纲领的部分实现「13]。

但笔者认为这类工作意义在于为部分怀疑论者在选择可接受的极小系统时提供参考，所涉及的都是在柏拉图主义者看来显然成立的公理系统。

它与为集合论乃至全部数学寻找新公理的哥德尔纲领的志趣相去甚远。

综上，形式主义思想对探究新公理的作用十分有限。

三、集合论多宇宙观与形式主义

笔者曾在《集合论多宇宙观述评》中论证集合论多宇宙观要么就是一种形式主义，要么与集合论单一宇宙观相容[2] 。

近年来，围绕集合论多宇宙观的研究出现了更多的结果。

这让我们有理由再次审视集合论多宇宙观是如何推动有关数学实践的。

本节中，笔者尝试通过展示这些基于集合论多宇宙观的新进成果以显示形式主义的思想何以在其中缺位，相反它们的灵感仍然主要来自多宇宙观与柏拉图主义单一宇宙观的对话。

近年来，与集合论多宇宙观密切相关的成果中最引人注目的是薄葉季路在2017年证明的下述定理。

定理 （1）假设V满足ZFC，那么V的地基是强向下直的（stronglydownwarddirected）。

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