范畴论与格罗滕迪克宇宙 (3-2)

无穷逻辑的诞生和发展基本上聚焦于1945-1960这十几年，其中一个重要的节点就是Henkin对一阶逻辑完备性的证明，其中用到的【将语句的见证看作语句本身】这个小技巧，让逻辑学家不再纠结“什么是公式/语句”这类比较形而上的问题，打开了用实数和序数来当作语句和公式这个做法的大门。

他的学生Carol Karp则是第一个系统性地研究当代意义下无穷逻辑的逻辑学家。

而塔斯基、Hanf、Scott那边则是延续着模型论和代数学之间的传统，在研究无穷个变量的代数运算时，自然地考虑到经典逻辑与布尔代数之间的联系是否暗示着更广义的代数能够对应着更广义的逻辑，于是乎Henkin、Karp几人的工作自然而然地就为它们提供了这个广义的逻辑（当时大家都在UC伯克利，所以基本上没有任何交流障碍）。

这类研究如今基本上不在模型论中出现，而是在范畴论和范畴逻辑中非常活跃。

当时集合论一个开问题就是最小的可测基数有没有可能是最小的强不可达基数。

无穷逻辑最早的应用就是解决这个问题（Hanf-Tarksi ~1960），将弱紧致基数卡在了可测基数和强不可达基数之间，让我们知道最小的可测基数底下肯定有很多很多个强不可达基数。

当然，今天这个问题用可测基数带来的初等嵌入的工具很容易就能解决。

至于强度上，由于基本所有无穷逻辑都包含经典一阶逻辑，所以前者自然是比后者要强的。

一个很经典的例子就是，由于紧致性定理，一阶逻辑无法刻画良序性，而在允许可数无穷长的量词和可数无穷长的逻辑连接词下的逻辑就可以刻画良序性。

在今天，除了范畴论中延续的Tarski学派逻辑-代数二元性传统之外，无穷逻辑还经常出现在描述集合论里，例如说如果你看Borel coded的属于关系是Δ¹₁ 的证明，实际上就像是像是在给一种特殊的逻辑赋予塔斯基语义学。

在不变量描述集合论中，例如高速老师的Invariant Descriptive Set Theory教材就专门有好几章是讲描述集合论与 Lω₁ω 逻辑的模型论的交互的，而这个方向的前身之一来自于Barwise对该逻辑的子逻辑紧致性的研究（Barwise compactness theorem）以及在admissible sets上的应用，其中著名的一个定理是Barwise extension theorem，说的是ZF的任何可数模型都能被end-extend为一个ZFC+V=L的模型。

另外一个研究方向则是欧洲特别是赫尔辛基和巴塞罗那现在在做的方向，研究所谓的Lowenheim-Skolem number的，大致就是一个逻辑能有多大多小的初等子模型或初等扩展，算是set-theoretic model theory的子分支，但它不单止研究无穷逻辑，也研究各种抽象逻辑（例如说公式仍然有穷长，但是加上了各种花式的量词的逻辑）

最后，武丁那边做的Ultimate-L纲领其中一个重要目标是他发明的Ω 逻辑的完备性定理。

这个 Ω 逻辑也会被称作无穷逻辑，但它和上述的无穷长度语句的逻辑不是特别一样。

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