范畴论与格罗滕迪克宇宙 (3-1)

定义集合 称为宇宙，如果满足以下性质

1.u∈∪⇒u⊂∪，即：∪是传递集；

2.u，υ∈∪⇒{u，υ}∈∪

3.u∈∪⇒P(u)∈∪

4.若 l ∈ ∪ , 一族集合 {uᵢ：i∈l}满足 ∀i，uᵢ ∈∪， 则 ∪uᵢ ∈ ∪

i∈l

5.ℤ≥₀∈∪.

对于集合Ⅹ，若 X∈∪ 则称为 ∪ -集；若 X 和一个 ∪ -集等势，则称为 ∪ -小集.

注意：上述表述如果用更通俗的语言来表达, 可以理解为满足以下性质的集合∪称为宇宙：

1.∪中的元素都是集合且是∪的子集

2.∪中有限个元素构成的集合是∪的元素

3.∪中元素的幂集是∪的元素

4.∪中元素的任意并(指标需要也是∪中元素)都是∪的元素

5. ℤ≥₀ 是U的元素

并且∪中元素可以简称为U -集.

假设 (A. Grothendieck) 对任何集合 X，存在宇宙 ∪ 使得 X∈∪ .

本着得过且过的原则, Grothendieck 宇宙就介绍到这里.

定义 一个范畴 C 称作是 ∪ -范畴，如果对任意对象 X，Y，从 X 到 Y 的态射 Homᴄ(X，Y) 都是 ∪ -小集. 如果态射集 Mor(C) 也是 ∪ -小集, 则称之为 ∪ -小范畴.

注意：一个范畴 C 是不是 ∪ -范畴，主要看它的态射集 Mor(C) .

无穷逻辑的意义

与经典一阶逻辑不同，无穷逻辑不是为了作为某种定理证明系统而诞生的，而是作为类似“群、域、泛函空间”之类数学对象，拿来被研究而诞生的。

这种态度一直贯穿数理逻辑的历史，例如塔斯基在定义Truth的那篇论文里有断言说过如果对象语言的语句无穷长，那么这个Truth就无法在我们的元语言里面被定义（然而后面将无穷逻辑做大做强的仍然是他23333），以及苏联数学家Novikov给Journal of Symbolic Logic投稿一篇关于无穷长语句的逻辑的一种完备性时，Church给这个结果的评语是“pointless.... it cannot be said that this calculus is a logic ... in the proper sense of the word”

换句话说，不是数理逻辑推理说工具不够用了，想着要多一种推理手段才发明的无穷逻辑，而是当时集合论和模型论界对代数结构的研究注重在代数的表示定理上，以及这种表示定理能不能有类似Stone表示定理那样跟逻辑的连接。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。