数学（一） (6-2)

对于任意有穷集合x⊂ω，存在脱殊集合y，使得x⊂y

脱殊集合y的每一ZF可定义的子集合都是有穷的

每一个脱殊集合都是无穷的

每一个脱殊集合都是ZF不可定义的

若x是M中ω的一个无穷子集合，y⊂ω是一个脱殊集合，则有：x∩y仍为无穷集合；x⊄y；ω∸x无穷，可获得y⊄x；x∸y，仍为一无穷集合

若y₁，y₂为两不同脱殊集合，则有：y₁⊄y₂且y₂⊄y₂；y₁∩y₂为无穷集合；y₁∸y₂与y₂∸y₁皆为无穷集合

区间[0,1]的脱殊数是稠密的。

内/外模型

内模型：集合论相容性证明基本法之一。设∑₁，∑₂为集合论语言的两个公式集，M为∑₁中的一个模型，若存在公式A(x)，使得N={x|x∈M, A(x)}为∑₂中的模型，则称N为M的内模型。假定∑₁相容且已知∑₁有模型M，若能在∑₁下证明存在M的一个内模型N，使N为∑₂的模型，则证明了∑₂对于∑₁的相容性。

外模型：集合论相容性与独立性证明的主要方法之一。设∑₁，∑₂为集合论语言中的两个公式集，M为∑₁的一个模型，若N⊇M，N≠M，且N为∑₂的模型，则称N为M的一个外模型。

极小模型：若M为ZF系统的一个可传模型，且为ZF系统的所有可传模型的子模型，则称M为ZF系统的极小模型。可构造全域L为ZF系统的极小真类模型。

分化性质

无穷组合论中的刻画基数大小的基本性质，设k、λ都是基数，n是自然数，m是有穷/无穷基数，如果把k的n元子集的集合[k]ⁿ={A⊆k| |A| = n}任意划分为m块，至少有一个基数为λ的子集H⊆k，使得[H]ⁿ中的元素全能落入所划分的同一块中，则说明这些基数之间存在分化性质k→(λ)ⁿ_m。而分化性质则是鸽笼原理的直接推广（鸽笼原理：m个物体放入n个盒子里，在n＜m时，必有一个盒子中有两件物品，即m→(2)¹_n）

基数ℵ₀的分划性质为：ℵ₀→(ℵ₀)²₂，而大于等于3的自然数m不具有m→(m)²₂的分划性质；而且大于ℵ₀的基数也不具有这种性质。由2^ℵ₀/(ℵ₁)²₂，可由定义得知当k/(λ)ⁿ_m及k₁ ≤ k时，必有k₁/(λ)ⁿ_m。而ℵ₁≤2^ℵ₀，所以ℵ₁/(ℵ₁)²₂。

而具有k→(k)²₂分划性质的不可数基数被称为弱紧基数，该基数的存在在ZFC系统中无法证明。

利用该性质，我们可以构造出更多的基数，如：

α是正则基数，当且仅当∀β＜α[α→(α)¹_β]

k是弱不可达基数，当且仅当k＞ω且∀γ＜k[k→(k)¹_γ⁺]

k是强不可达基数，当且仅当k＞ω且∀γ＜k[k→(k)¹_(2^λ)]

k是不可表达基数，当且仅当k＞且k→(驻集)²₂

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