代数

比较两数的大小，细分仅三种可能:大于，等于，小于。不等式的性质只是以等式性质为基础，在不等式两边同乘(或除)以负数时，不等号需要改变方向，才能确保不等式仍然成立。

(1)基本不等式

设a＞b，那么

①a±c＞b±c，②ac＞bc(c＞0)；ac＜bc(c＜0)，

③同图1所示

证明不等式要比证明等式难些，所以证明不等式问题，首先要有良好的等式知识作基础，这样才能完成不等式的论证。不等式的证明方法灵活多变，除常用的公式法之外，尚有增项，减项。

1)作差法是证明不等式的基本方法之一。若A-B＞0，则A＞B；若A-B＜0，则A＜B。故根据这个理论证明不等式。

例1，设a，b为不相等的正实数，求证:

a^3+b^3＞a^2b+ab^2。

证明:作差

a^3+b^3-(a^2b+ab^2)

=a^2(a-b)+b^2(b-a)

=(a+b)(a-b)^2＞0。

2)基本不等式

即绝对不等式，如a^2+b^2≥2ab(当a=b时，取等号)，变形有

当a＞0，b＞0，则

a+b≥2√(ab)。

例2，设a，b，c为不等的实数，求证:

a^2+b^2+c^2＞ab+bc+ac。

证明:(a-b)^2﹥0，(a-b)^2＞0，(b-c)^2＞0，各式相加即得证明。

3)算术平均数与几何平均数

我们把A(a)=(a1+a2+…+an)/n，叫做n个数a1，a2，…，an的算术平均数。

把G(a)=(a1xa2x…xan)^(1/n)，n个数a1，a2，…，an之积再开n次方，叫做这n个数的几何平均数。

把H(a)=n÷(1/a1+1/a2+…+1/an)叫调和平均数。

很容易得到两个性质:

1，如果n个原始数据彼此相等，则它们的算术平均，几何平均，调和平切也都相等。

2，如果n个原始数据都界于m和M之间，那么，它们三个平均也都界于m和M之间，即m≤A(a)≤M，m≤G(a)≤M，m≤H(a)≤M。

公式:A(a)≥G(a)≥H(a)。

例3，设a，b是不相等的正数，

求证:(ab^n)^(1/(n+1)＜(a+nb)/(n+1)。

证明直接应用公式可得。

例4，判断√(4+√7)-√(4-√7)-√2与0的大小。

分析:√(4+√7)=√[(8+2√7)/2]

=√[(√7+1)^2/2]=√7/√2+1/√2，

√(4-√7)=√[(8-2√7)/2]

=√[(√7-1)^2/2]=√7/√2-1/√2。

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