格罗滕宇宙 (4-3)

证明：对于每个集合x，x∈On U持有x是一个序数，x⊆On U。重新考虑∧＝的U作为一个序数。存在一个函数，对于每个集合x，∅x⊆x持有(x)∈x。≠考虑是一个函数，对于每个集合x，这样∅x⊆x持有（x）∈x。≠定义R（设置

）={rk(x)，其中x是＄的一个元素1：x ∈＄1),对于每个集合A和每个对象，x，x∈R(A)如果存在一个集合，即∈a和x＝rk(a).

定义Q[设置，对象]≡＄]2 ∈ X\＄1对于每一个序号B，B∈R(X \ ＄1)持有rk（＄2）⊆ B.定义F（超限序列）=The（其中x是x：Q[＄的rng元素1，x] }）.考虑f是一个超限序列，这样dom f＝∧，对于每个序数a和每个超限序列L，这样a∈∧和L＝frA持有f（A）=F（L）。对于每一个序数A，使A∈∧保持Q[rng（frA），f（A）]。f是一对一的。rng f ⊆ X，X ⊆ rng f .样

（17）每个格罗滕狄克人都是塔尔斯基

。证明：如果是X≈U，则是X≈U。

∉样

让我们注意到，每一个传递的、幂闭的和族并闭的集合也是通用的，每一个普遍的集合也是传递的、幂闭的和族并闭的。

现在，我们陈述以下命题：

（18）让我们考虑一个X的格罗滕狄克G。然后是T（X）⊆G。

（19）让我们考虑一个无限集X。然后X T（[X]）。∉

证明：定义B（设置，设置）=＄2∪2＄2.考虑f是一个函数，即dom f＝N和f（0）={ {A}，∅}，以及对于每个自然数n，f（n＋l）=B（n，f（n））。设置U=n f.定义M[对象，对象]≡＄]1 ∈ f（＄2）和＄2∈dom f和每个自然数i，j，

使得i＜j＝＄2

格罗森狄克宇宙215

持有＄1∉f（i）.对于每个对象x，使x∈U存在一个对象y，使M[x，y]。

考虑M是一个函数，即dom M＝U，并且对于每个对象x，即x∈U持有M[x，M（x）]。U是子集关闭的。对于每一个X，这样的X∈U持有2个X∈U。定义D[自然数]≡f（＄1是有限的。对于每个自然数n，使D包含D[n＋1]。对于每一个自然数n，d［n。对于每个集合x，这样x∈dom f持有f（x）是可数的。对于每一个X，这样的X⊆U持有X≈U或X∈U。A U.∉样

（20）让我们考虑一个无限集X。然后是⊂的宇宙宇宙（{X}）。该定理是（18）

和（19）的结果。

（21）（i）格罗森氏宇宙（X）是一个通用类，并且（ii）对于每一个通用类U，这样X∈U都成立GrothendieckUniverse (X) ⊆ U .

（22）让我们考虑一个传递集X。然后是T（X）=宇宙宇宙（X）。这个定理

是（18）的结果。

参考文献

[1]Grzegorz班切雷克。序数。形式化数学，1（1）：91-96，1990年。

[2] Grzegorz班克雷克，Czeslaw比林斯基，亚当格拉博夫斯基，Artur Kornilowicz，罗马马-

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