几何不等式

1，求证:三角形任一角的平分线长不大于对边上的中线长。

证明:如图一，设AM为BC边的中线，AD为角∠BAC的平角线。

若AB=AC，则AM与AC重合，命题成立。

若AB≠AC，设AB＞AC，则∠ACB＞∠ABC。

因为∠BAD=∠DAC，所以

∠BAD+∠B＜∠DAC+∠C。

所以，∠BDA＞∠ADC。

所以，∠BDA为钝角，故在△AMD中，∠BDA为钝角，所以∠AMD必为锐角。

所以∠BDA＞∠AMD，得AM＞AD。原命题成立。

2，已知，在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，

求证:①AB＞BD，AC＞AD，

②若AB＞AC，则BD＞CD。

证明:①如图二，设∠ADB=∠1，∠ADC=∠2。

因为∠1＞∠CAD=∠DAB，在△BDA中，因为∠1＞∠DAB，

所以AB＞BD。同理AC＞DC。

②因为AD平分∠A，由三角形内角平分线定理知，AB/AC=BD/DC，

因为AB＞AC，所以AB/AC﹥1。

所以BD/DC＞1，所以BD＞CD。

3，已知△ABC中，AB＞AC，P为∠A平分线AD上任意一点，

求证:∠ABP＜∠ACP。

证明:如图三，因为AB＞AC，故在AB上取一点E，使AE=AC，连PE，则

△APC≌△APE。

所以∠ACP=∠AEP，又

因为∠ABP＜∠AEP，

所以∠ABP＜∠ACP。

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