柯西留数定理 (2-2)

── ∫Γ⁻f(z)dz(Γ：|z|＝ρ＞r)

2πi

为f(z)在点∞ 的留数，记 Resf(z) 。

z＝∞

注意这里的积分路径是负方向也就是顺时针方向。有的读者会疑问为何在无穷远点的留数积分路径为负方向，原因在于负方向的圆周绕着无穷远点则是正向了，因为无穷远点是在圆周之外。下面的定理把无穷远点的留数包含进来了。

定理2：

如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），设为a1,a2,...,an,∞，则f(z)在各点的留数总和为0。

证明：

以原点为圆心作圆周Γ 使除∞外的奇点都包含于 Γ 内部，则根据留数定理，

ₙ

∫Γf(z)dz＝2πi∑Resf(z)，于是

ₖ₌₁ z＝αₖ

ₙ 1

∑Resf(z)＋── ∫Γf(z)dz＝0，即

ₖ₌₁ z＝αₖ 2πi

ₙ

∑Resf(z)＋Resf(z)＝0

ₖ₌₁ z＝αₖ z＝∞

某些实定积分的计算用留数定理会简洁很多，这再一次印证了曾有数学家说的一句话：实数之间真理的最短路径经过复数。下面演示某些三角函数类的积分可以用留数定理计算。

例：∫₀²π R(cosθ，sinθ)dθ

令z＝eⁱθ，则

z＋z⁻¹ z – z⁻¹

cosθ＝───，sinθ＝───，

2 2i

dz

dθ＝──，

iz

θ 从0到 2π 时，z从1正向沿着圆周一圈，于是

∫₀²π R(cosθ，sinθ)dθ＝∫|z| → ↓

z＋z⁻¹ z – z⁻¹ dz

R(───，───) ──，

2 2i iz

只需要计算圆周内奇点的留数就能求出积分，对于原函数不易求的积分，这样的方法大大降低了积分求解的难度。

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