柯西留数定理 (2-1)

定理1（柯西留数定理）：

f(z)在周线或复周线C所围的区域D内，除α₁，α₂，. . .，αₙ 外解析，在闭域ˉD＝D＋C上除α₁，α₂，. . .，αₙ 外连续，则fᴄf(z)dz＝2πi∑ⁿₖ₌₁Resf(z)

ᴢ＝αₖ

留数理论是柯西积分定理的进一步发展，如果函数f(x)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，根据前面讲的柯西积分定理 《如何证明复变函数论中的柯西积分定理》可知f(z)在周线C上的积分为0。这时的周线C必须是一个单连通区域内的周线，那么当a点是一个孤立奇点，这时包含周线C的区域不是一个单连通区域(有一个奇点a)，往往f(z)在周线C上的积分不为0。

定义1（留数）：

设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域 0＜|z-a|＜R内解析，则积分

1

── ∫Γf(z)dz，其中

2πi

Γ：|z – α|＝ρ，0＜ρ＜R

这个积分叫作f(z)在点a的留数，记为

Resf(z)

z＝α

《洛朗级数与泰勒级数有什么关系？》里,洛朗级数的系数

1 f(ζ)

cₙ＝── ∫Γ ──── dζ(n＝0，±1，. . .)

2πi (ζ – α)ⁿ⁺¹

令n=-1，则

1

c₋₁＝── ∫Γf(ζ)dζ，所以

2πi

Resf(z)＝c₋₁

z＝α

定理1（柯西留数定理）：

f(z)在周线或复周线C所围的区域D内，除α₁，α₂，. . .，αₙ 外解析，

在闭域ˉD＝D＋C 上除α₁，α₂，. . .，αₙ 外连续，则

ₙ

∫ᴄf(z)dz＝2πi∑Resf(z)

ₖ₌₁ z＝αₖ

证明：

画圆周|Γₖ：|z – αₖ|＝ρₖ(k＝1，2，. . .，n)使圆周和内部都包含于D，且彼此不相交，应用复周线柯西定理得

ₙ

∫ᴄf(z)dz＝∑∫Γₖf(z)dz，由定义得

ₖ₌₁

ₙ

∫ᴄf(z)dz＝2πi∑Resf(z)

ₖ₌₁ z＝αₖ

现在来关注在无穷远点的留数。

定义2（无穷远点的留数）：

设∞ 为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域

N – ∞：0 ≤ r＜|z|＜＋∞ 内解析，则

1

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。