伽利略悖论 (3-3)

我们做个减法就可以了。假如手头没有计算器或者位数太多的话，我们首先数位数，位数多的更大；如果位数一样，看最前面位的数字，数字大的更大；假如还一样，则继续逐个比较后面一位的数字直至分出大小。假如最终也没分出大小，则两个数字一样大。我敢保证结果同用减法是一样的。一一对应的方法要求我们怎么做呢？两个数字分别不断减1，直到其中一个为零？但是这样做同用前一个数字减去后一个数字看是否大于零还是一样的。减法就是一种一一对应的比较方法，但它把同样的数量只做一次一一对应的比较。所以，正整数的数量与平方数的数量做比较时，先把正整数分为平方数与非平方数，全部平方数作为一个集合与全部平方数的集合对应，正整数那边还剩下非平方数，平方数这边什么也没有了。因此，正整数的数量大于平方数的数量。

但是假如有人坚持必须一个数字一个数字地一一对应地比较呢？每当你举出一个正整数，他就能举出一个平方数。你永远没法举出一个正整数使得他无法举出一个对应的平方数。所以他宣称正整数和平方数是一样多的。对于那些认为一个正整数对应一个平方数地比较多少，永远也比不完，因此两者不能比较多少的人，他也可以模仿芝诺用这样一种一一对应的比较方法来比较数字1和2：两个数字分别各减1/2，再各减1/4，再各减1/8……以此类推。最后他可以宣称两个数字都减不完，因此2和3是不能比较大小的。

我来讲一个故事：从前有一个生活拮据的人，他声称当地的大财主的粮食也不比他多。财主说，我的仓库里有一万石大米，你家有几石呢？他说，“每石大米里的米粒又不是一样多，怎么能比呢？咱们一粒一粒比……”

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