单调有界定理 (5-3)

[unbounded_non_monotone(n) for n in n_values],

[monotone_increasing_positive_infinity(n) for n in n_values],

[monotone_decreasing_negative_infinity(n) for n in n_values],

[monotone_increasing_finite_limit(n) for n in n_values]

]

# 绘制九宫图

fig, axs = plt.subplots(3, 3, figsize=(15, 15))

titles = [

'Monotone Increasing & Bounded',

'Monotone Decreasing & Bounded',

'Monotone Increasing & Unbounded',

'Monotone Decreasing & Unbounded',

'Bounded & Non-Monotone',

'Unbounded & Non-Monotone',

'Monotone Increasing & Positive Infinity',

'Monotone Decreasing & Negative Infinity',

'Monotone Increasing & Finite Limit'

]

for i, ax in enumerate(axs.flat):

ax.plot(n_values, sequences[i], marker='o', linestyle='-')

t_title(titles[i])

t_xlabel('n')

t_ylabel('a_n')

ax.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.show()

这个代码定义了九种不同的数列函数，并在一个3x3的子图中分别绘制了这些数列的前50项。每个子图都有一个标题，描述了数列的特性。运行这个代码后，你会看到一个九宫图，展示了各种可能和临界情况的数列。

【gpt-4o-2024-08-06】

你对单调有界定理的描述很形象，确实可以用这样一个比喻来理解这个定理。让我们来详细地讨论一下这个定理。

单调有界定理陈述如下：

如果一个数列 {αₙ} 是单调且有界的，那么它必然收敛。

具体来说：

• 单调递增且有界： 如果数列 {αₙ} 单调递增且有上界，那么它收敛于它的上确界。

• 单调递减且有界： 如果数列 {αₙ} 单调递减且有下界，那么它收敛于它的下确界。

证明思路

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