单调有界定理 (5-1)

单调有界定理，一个单一方向变化的数列，再额外加上一个有界的限制条件，可以推出，它必然是存在极限的。

这就好比有一个平板墙壁，这个墙壁就是有界，而有一双手把你摁在那个墙【地板】上面，这一双手就是单调的趋势，你会被朝向同一个平面向前摩擦，那个虚拟的平面就是极限。

很明显，在这种情形下，这个收敛的极限。就是有界条件，所限制的上或者下确界。

单调性和有限性，两个条件都是不能少的。

单调有界定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果一个数列是单调的（单调递增或单调递减）并且有界，那么这个数列必然收敛。

这个定理的关键在于单调性和有界性两个条件缺一不可。下面我们通过具体的例子来说明这一点。

反例1：单调但无界

考虑数列{αₙ} 定义为：

αₙ＝n

这个数列是单调递增的，因为对于所有的 n，αₙ₊₁＝n＋1＞n＝αₙ 。

但是，这个数列是无界的，因为对于任意大的正数M，总存在某个 n（例如 n＝M＋1）使得 αₙ＝n＞M。

因此，这个数列不收敛。

反例2：有界但非单调

考虑数列{bₙ} 定义为：

bₙ＝(–1)ⁿ

这个数列是有界的，因为对于所有的n，|bₙ|＝1，所以它的上界是 1，下界是 -1。

但是，这个数列不是单调的，因为它在 1 和 -1 之间交替变化。

因此，这个数列不收敛。

正例：单调且有界

考虑数列{cₙ} 定义为：

1

cₙ＝1 – ─

n

这个数列是单调递增的，因为对于所有的

1 1

n，cₙ₊₁＝1 – ──＞1 – ─＝cₙ 。

n＋1 n

同时，这个数列是有界的，因为对于所有的n，0＜cₙ＜1。

因此，这个数列收敛，并且它的极限是 1。

总结

通过上述例子可以看出，单调性和有界性是数列收敛的两个必要条件。

如果数列单调但无界，或者有界但非单调，都不能保证数列收敛。

只有当数列同时满足单调性和有界性时，才能保证数列收敛。

再给我一个代码画一个九宫图展示各种可能和临界情况。

为了展示各种可能和临界情况，我们可以创建一个九宫图，每个格子展示一种数列的情况。具体来说，我们可以展示以下九种情况：

1. 单调递增且有界

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