拉姆齐理论 (3-2)

拉姆齐理论

为了阐述拉姆齐理论的结构，我们需要在上述图形中添加一些新元素。我们将创建多种不同类型的边，每种边用不同的颜色表示。现在，我仅使用红色和蓝色的边。拉姆齐理论有多种颜色的版本，但为了本文的目的，我将保持简单。

• 带有彩色边的K_4

现在，图形有了更多元素。我们可以根据边的颜色来构造子图。具体来说，如果我们有一个由不同颜色的边组成的图，我们可以选择这些边中的一种颜色，并利用这些特定颜色的边及其连接的节点来创建一个新的、更小的图，即子图。

子图是从原始图中选取一部分节点和边构成的。例如，假设原图中有红色和蓝色的边，我们可以选择所有红色的边及其连接的节点来形成一个子图；同理，选择所有蓝色的边及其连接的节点也可以形成另一个子图。这样，我们就根据边的颜色，从原图中分离出了两个不同的子图。

在创建这些子图的过程中，我们保留并重用了原图中的节点。这意味着，尽管子图只包含原图的一部分元素（即特定颜色的边和相连的节点），但这些节点在原图中仍然存在，维持了子图与原图之间的关联性。

• 将上面的图形分割成两个子图

这两个子图被称为“包含在”上面的原始彩色图中。它们保持相同的结构，只是其中的一部分。这两个图都不是完全图，因为一些节点没有连接。这与它们所包含的主图形成对比。

我们现在准备好了用一个具体的例子来展示拉姆齐理论的应用。想象一下，有六个朋友被邀请参加同一个派对。在这群朋友中，有的相互认识，有的则不认识。为了描绘这种社交关系，我们可以使用图论的方法。在这个图中，每个人都由一个节点表示，而他们之间的相识或不相识的关系则通过连接这些节点的边来表示。

为了区分朋友之间的不同关系，我们可以使用两种颜色的边：蓝色边表示两个人相互认识，红色边则表示他们彼此不认识。通过这种方式，这个图就变成了一个展示朋友间关系网络的视觉模型。在这个模型中，每个节点（代表一个朋友）都通过蓝色或红色的边与其他节点（其他朋友）相连，形成了一个揭示了他们之间已知和未知联系的复杂网络。这个网络为我们提供了一个实际的场景来应用拉姆齐理论，从而发现其中的一些数学性质和模式。

这就是拉姆齐理论的用武之地。弗兰克·拉姆齐证明了一个定理，无论如何，总会有三个人彼此认识或彼此不认识。这有点奇怪，边的排列方式有这么多种可能！这怎么可能被证明呢？所有边都相连的子图被称为“团（clique）”。

由于每个人要么相互认识，要么不认识，所以每对节点之间都有一条边。你能在那里找到一个由相同颜色边连接的三人小组吗？

这个图中实际上有多个三人小组。其中一个是在节点A、B和E之间。它们都通过红色边连接，所以这是一个由三个陌生人组成的小组。在这个图中，实际上还有另一个三人小组：D、E和F。这个小组由蓝色边连接，所以他们都互相认识。无论我们如何设置颜色，总会有这样的子图存在。

这些子图总是存在似乎非常奇怪。用不同颜色设置这个图形有2^15种不同的方式，这是一个超过3万的数字！然而，拉姆齐理论证明，在每一个构型中，总有一个由三个全红或全蓝的组成的小组。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。