符号逻辑 (2-2)

[(A·B)⊃C]≡[A⊃(B⊃C)]

A≡(A∨A)

A≡(A·A)

我们不仅可以从表达式的左边推到右边，从右边推到左边，甚至还可以在一个更复杂的表达式中进行等价替换，因为不影响总表达式的真值。例如以下是一种反证法的形式，我们不需要再穷举A，B的真值即可证明：

[(~A·B)⊃~B]≡(B⊃A)

[(~A·B)⊃~B]≡[~(~A·B)∨~B]≡(A∨~B∨~B)≡(A∨~B)≡(~B∨A)≡(B⊃A)

又如：

[A⊃(C·D)]⊃(A⊃C)

[A⊃(C·D)]≡[~A⋁(C·D)]≡[(~A⋁C)·(~A⋁D)]≡[(A⊃C)·(A⊃D)]⊃(A⊃C)

注意到有几个恒等式和集合里的几个公式很像，比如这就叫德·摩根定律：~(A·B)≡(~A∨~B)，~(A∨B)≡(~A·~B)

符号逻辑的公式与集合论里的是互通的，因为有这种类似于同构的关系（x∈A和命题A）：

x∈A∩B≡x∈A·x∈B

x∈A∪B≡x∈A⋁x∈B

x∈∁A≡~(x∈A)

A⊆B≡x∈A⊃x∈B

A=B≡(x∈A⊃x∈B)·(x∈B⊃x∈A)≡(x∈A≡x∈B)

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