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符号逻辑 (2-1)

逻辑学中最有用的就是符号逻辑,非常贴近于数学物理计算机等学科,涵盖了三段论等一大堆繁杂无用的逻辑学理论。我接下来将使用的这些符号,可能会与中国的教材有所不同,不过不用在意。

一个命题要么为真,记为T,要么为假,记为F。两个命题A,B的真假就有四种情况。可以用逻辑符号将两个命题连接起来,它也是一个命题,称为复合命题。复合命题的真假取决于A,B的真假,同时制约着A,B的真假。一般使用以下五种逻辑符号:与(·),或(⋁),非(~),等价(≡),蕴涵(⊃)。

A·B=T,等价于A=T,B=T。A·B=F,等价于A=T,B=F或A=F,B=T或A=F,B=F A⋁B=T,等价于A=T,B=T或A=T,B=F或A=F,B=T。A⋁B=F,等价于A=F,B=F ~A=T,等价于A=F。~A=F,等价于A=T A≡B=T,等价于A=T,B=T或A=F,B=F。A≡B=F,等价于A=T,B=F或A=F,B=T A⊃B=T,等价于A=T,B=T或A=F,B=T或A=F,B=F。A⊃B=F,等价于A=T,B=F 可能已经注意到了,在定义这些逻辑符号的时候,已经使用了等价,或以及与(我使用的逗号)的概念。我认为仅用“若···,则···”一条语句就可以完成整个定义。无论如何,你们应该都能看懂。符号⊃,实际上就是我们所理解的“若···,则···”,“推出”的含义。如果A⊃B=T,A=T,遵照定义就可以得到B=T。如果A⊃B=T,B=F,同样可以得到A=F。

由定义可以得到一些表达式方便我们应用。无论A,B等取什么值,可以验证以下的逻辑表达式恒为真:(如果没有括号,符号~作用于A,B等单独的命题)

(A⊃B·A)⊃B

(A⊃B·~B)⊃~A

(A⊃B·B⊃C)A⊃C

(A∨B·~A)⊃B

(A⊃B·C⊃D·A∨C)⊃(B∨D)

(A⊃B)⊃[A⊃(A·B)]

(A·B)⊃A

A⊃(A∨B)

这些表达式中间都有一个⊃符号,当⊃前面的项为真时,就可以推出后面的项为真。而下面的表达式中间都有一个≡符号:

~(A·B)≡(~A∨~B)

~(A∨B)≡(~A·~B)

(A∨B)≡(B∨A)

(A·B)≡(B·A)

[A∨(B∨C)]≡[(A∨B)∨C]

[A·(B·C)]≡[(A·B)·C]

[A·(B∨C)]≡[(A·B)∨(A·C)]

[A∨(B·C)]≡[(A∨B)·(A∨C)]

A≡~~A

(A⊃B)≡(~B⊃~A)

(A⊃B)≡(~A∨B)

(A≡B)≡(A⊃B·B⊃A)

(A≡B)≡[(A·B)∨(~A·~B)]

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