数学微分几何 (2-2)

复杂性就是高维度。古典的是三维空间的几何，包括曲线啊，曲面啊。其实，近代的微分几何已经开始向高维扩展了，但是是外在的高维，也就是我们先要定义高维的欧氏空间，然后再在其中定义高维曲面，我们叫超曲面。这是古典微分几何的直接推广。现代微分几何，是在内蕴的前提下进行的高维推广。

整体性就是非局部性。这好像是废话，但如果不解释一下还是容易懵。微积分的特点就是函数的局部性质，点的邻域如何如何、连续函数的局部保号性，保序性......但是你很少见函数有什么整体性，比如像陌生又熟悉的“一致连续性”这种，它们还是很少的。建立在极限概念上的连续性就已经把函数研究限制邻域内了，除非我们附加更多的条件，这样才能有某些整体性质。整体性质也叫大范围性质，不知道你听没听过所谓的“大范围分析”，或者更准确地说叫流形上的分析，现代微分几何都得学这个的。

把R【实数集】上的分析学推广到微分流形上就是大范围分析。

整体几何的例子还是挺多的，比如等周面积问题，给你一个确定周长的闭曲线，问它围成什么图形时面积最大，答案是圆，你怎么证明？这就是整体几何的一个例子。再就是高斯-博内定理，全面反应曲面每点处曲面平均性质与拓扑不变量关系的等式，曲率是曲面点的函数，反应的是点的邻域的几何状态，它的积分等于整个曲面整体量——拓扑量，这也是一个整体几何的例子。整体几何有点像欧氏几何研究整个三角形的那种模式，但是它更多的是研究曲面的整体性质。

古典微分几何不太考虑整体问题，这里面有历史的原因，毕竟那时工具有限，思想认识也有限，微积分刚发迹不久，拓扑学那会连受精卵都不是，所以根本谈不上什么整体几何。还是前面说的，这时的微分几何就是用法截面切切曲面，看看曲率，然后列个特征值的二次方程，考察一下根，发现根正好是曲率的极值，于是再定义高斯曲率、平均曲率啥的。再就是当曲面的一般方程的梯度为0时，发现高斯曲率可以写成曲面方程【根据一般方程的变形】的二阶导数形成的矩阵的行列式，这正好对应特征值的积。然后引入矢量分析，把n元m维向量值函数的分析与曲面论结合，于是我们的麦克斯韦方程或者叫电动力学的数学工具就有了，这时主要是把场看成曲面，然后进行梯度、旋度、散度、点乘、叉乘之类的讨论。

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